Sólo puede un mapa $$*:S\times S\rightarrow S$$ ser asociativa?
Si miro $$(a* b)* c=a* (b* c),$$ entonces parece que tengo que descartar el caso más general $$*:A\times B\rightarrow C.$$
Pero $A=B=C$ es realmente la única restricción para una operación binaria a ser un magma. Por lo tanto, si mi suposición es cierto que para una relación que se asociativa es la misma cosa que ser un semi-grupo. Esta redundancia en la notación (sólo pudo afirmar que una relación junto con su conjunto es un semigroup) sólo me sorprendió.
(Aquí es un hilo anterior sobre un punto).
Respuestas
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Permítanme realizar un punto filosófico acerca de las definiciones. Una definición matemática es mucho más que su desnudo contenido semántico. Una definición que también lleva implícita una intención que debe ser entendido de la manera que se utiliza en la práctica.
Por ejemplo, las definiciones matemáticas de la indicada (multi)grafo y carcaj son equivalentes. Entonces, ¿por qué algunas personas dicen que se indique (multi)grafo y otros dicen aljaba? Es la intención detrás del término: las personas que dicen las instrucciones (multi)grafo desea hacer la teoría de grafos de algún tipo, mientras que las personas que dicen carcaj desea específicamente para el estudio de la aljaba de las representaciones, de la aljaba de variedades, etc.
También hay varios ejemplos en la categoría de la teoría de las construcciones que, en el nivel de categoría de la teoría, son formalmente equivalentes (por ejemplo, el retroceso y el producto de fibra), pero que se nombran después de los casos especiales que se producen en diferentes contextos. La elección de utilizar un nombre más que el otro evoca un contexto particular y activa ciertas intuiciones relacionadas con lo que vamos a utilizar en la construcción.
Así que, volviendo a tu pregunta: estrictamente hablando, la palabra "asociativa" (en mi experiencia) sólo se utiliza para describir una propiedad de un mapa de $S \times S \to S$, por lo que decir "$f$ es asociativa" es formalmente equivalente a decir "$f$ define un semigroup." Pero estas dos palabras se producen en diferentes contextos. Cuando usted quiere hablar acerca de una determinada operación asociativa, es por lo general en el contexto de potencialmente varias otras operaciones (por ejemplo, la adición en el contexto de la multiplicación), mientras que cuando se quiere hablar de un semigroup, normalmente se está hablando sólo de una operación. No reconocer esta diferencia en la intención hará que sea muy difícil para la gente entender que, en la práctica, incluso si usted está, de una manera formal a nivel semántico, diciendo lo correcto.
sewo
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Complementa Qiaochu la respuesta:
Formalmente, si $f:S\times S\to S$, luego diciendo "$f$ es asociativa" y "$(S,f)$ es un semigroup" transmitir la misma información.
Sin embargo, si usted dice que el "$(S,f)$ es un semigroup", a continuación, configurar el lector de esperar que si después de hablar acerca de "homomorphisms" y/o "isomorphisms", luego de lo que estás hablando semigroup morfismos. Si $S$ tiene algún tipo de estructura, además de a $f$ (por ejemplo, podría ser un anillo o un álgebra Booleana o lo que sea), entonces una vez que usted menciona dos diferentes estructuras en la misma base que estará obligado a especificar cual de estas estructuras que decir cada vez que se menciona una homomorpism/isomorfismo/lo que sea. Que consiguen muy tedioso rápidamente.
Por lo tanto, es muy conveniente tener una manera de hablar acerca de la asociatividad como una propiedad de la operación, en lugar de una propiedad de toda la estructura de la operación es parte de.
runeh
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1304
Todo tipo de cosas son asociativas. Si tenemos funciones
$f:A \rightarrow B$
$g:B \rightarrow C$
$h:C \rightarrow D$
satisfacen$(f \circ g)\circ h = f\circ (g\circ h) $ donde la operación es la composición de funciones. Y esto nos permite ver que todo tipo de construcciones son asociativas. Puede, por ejemplo, usarse para probar la asociatividad de la multiplicación de matrices.
En un Álgebra, la multiplicación por un 'escalar' se asocia con la multiplicación de Álgebra.
