En las soluciones de$y''(t)=f(y(t))$.

Question

Este tema ha sido inspirado por algún tiempo el gasto en tratar de refinación de mi conocimiento acerca del PDE en general. A continuación, todo el mundo sabe cómo resolver $$y''(t)=\pm y(t).$$ Then I tried to slightly modify the question and I focused on $$(\therefore)\;y''(t)=f(y(t)),\; f\in C^1(\mathbb R,\mathbb R).$$ Lo que yo estaba tratando de hacer era obtener algunas de las propiedades generales de las soluciones de esta ecuación. En particular, le pido a usted, ya que yo no era capaz de responder a mí mismo:

Debe una solución de $(\therefore)$, no idéntica a cero, tiene necesariamente un número finito de ceros en $[0,1]$? Mi idea era obtener un presupuesto como

$$|y(\eta)-y(\xi)|\leq C|\eta-\xi|^p,\; p>1;$$ Moreover, if a solution $y$ were to have an infinite number of zeroes in $[0,1]$, the the set of zeroes should have an accumulation point, and in this point all the derivatives should be equal to $0$ por la continuidad, tal vez entonces la función debe permanecer mucho exprimido a ser diferente de cero.

Espero que me puedan ayudar porque esto me interesa mucho.

Muchas gracias por su atención.

(He intentado publicar este en mathlinks así pero nadie me contestó todavía)

Answer 1

Este es un tipo familiar de la educación a distancia. En el siguiente voy a tratar con la "puramente formal" aspecto de la misma. Preguntas de signo en virtud de la raíz cuadrada o el comportamiento de cerca de puntos especiales han de ser tratados "en tiempo de ejecución".

Deje $F$ ser una primitiva de la función dada $y\mapsto f(y)$. Multiplicando el dado por la ecuación diferencial por $y'(t)$ tenemos $$y''(t)y'(t)=f\bigl(y(t)\bigr)\,y'(t)$$ o $${d\over dt}\left({1\over2} y'^2(t)-F\bigl(y(t)\bigr)\right)=0\ .$$ Por lo tanto, no es una constante $C$ tal que $$y'(t)=\sqrt{2F\bigl(y(t)\bigr)+C}\ .$$ Ahora las variables pueden ser separados: $${dy\over\sqrt{2F(y)+C}}= dt\ .$$ Esto muestra que las Odas de la que se considera de tipo puede ser resuelto por cuadraturas. (El truco de multiplicar por $y'$ es absolutamente estándar en mecánica, a dónde conduce el principio de "conservación de energía".)

Answer 2

Otra forma de hacer lo que hizo Christian.

La ecuación no menciona explícitamente a$t$ (solo$y(t)$), por lo que podemos reducir a una ecuación de primer orden. Diga$u = y'$ y obtenga una ecuación para$u$ en función de$y$ como esto: $$ \begin{align} \frac{du}{dt} &= \frac{du}{dy}\cdot\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dy}\cdot u \\ \text{so}\qquad y'' &= f(y)\qquad\text{becomes} \\ u \frac{du}{dy} &= f(y) \end {align} $$ una ecuación lineal separable de primer orden. Resuélvelo. Una vez que obtiene$u$ como una función de$y$, tiene un problema de integración para obtener (implícitamente)$y$ como una función de$t$.

Answer 3

Como dijiste, si el conjunto de ceros tiene un punto de acumulación$x$, entonces la solución y sus derivados deberían desaparecer allí. En particular, esto implica que$f(0)=f(y(x))=y''(x)=0$. Luego, según la teoría de la unicidad de ODE, la solución debe desaparecer en todas partes, porque$y\equiv0$ es una solución.

Un tratamiento detallado de tales ecuaciones se puede encontrar en las notas de Cazenave. Una introducción a las ecuaciones elípticas semilineales . Google puede encontrarlo fácilmente para ti.