Convexidad de la función compuesta exponencial

Question

$f:\mathbb{R}_{+}^M\rightarrow\mathbb{R}_+$ es una función analítica convexa. Para$\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^M$ y$y\in\mathbb{R}_{+}$, considere la función$g:\mathbb{R}_{+}^{M+1}\rightarrow\mathbb{R}_+$ definida como

$g(\mathbf{x},y)=e^y[f(\mathbf{x})+c]$

donde$c$ es una constante positiva. Tengo el presentimiento de que$g$ es una función convexa pero no puedo probarlo. ¿Alguna sugerencia, idea, o lo que es más importante, contra el ejemplo?

PS La formación de la matriz de Hess para$g$ a partir de la de$f$ es aparentemente una buena idea, pero estoy atascado para demostrar que el determinante final será positivo.

Answer 1

En general, $g$ no es convexa (en todas partes).

Para un contraejemplo, cojo $M = 1$, ya que es más fácil de escribir, pero, por supuesto, una situación similar puede surgir en dimensiones arbitrarias. Vamos

$$f(x) = x^4 - \frac12 x + \frac{3}{16} + \varepsilon(x^2 + 1),$$

donde $\varepsilon > 0$ es muy pequeña, sólo sirve para establecer estricto positivismo y la estricta convexidad y no deberá interferir con el siguiente. Vamos también a $c > 0$ ser lo suficientemente pequeño. A continuación, el de Hesse (grr, que debe ser Hessean, el hombre se llama Hesse) de $g$ es - módulo del factor de $e^y$ -

$$\begin{pmatrix} 12x^2 + 2\varepsilon & 4x^3 -\frac12 + 2\varepsilon x\\ 4x^3 -\frac12 + 2\varepsilon x & f(x)+c \end{pmatrix}.$$

Para $x = 0$, obtenemos

$$\begin{pmatrix} 2\varepsilon & -\frac12\\ -\frac12 & \frac{3}{16} +\varepsilon + c \end{pmatrix},$$

cuyo determinante es negativo.

Si $f$ es uniformemente estrictamente convexo (el menor autovalor de Hesse está estrictamente delimitada fuera de cero), entonces la elección de $c$ suficientemente grande [si los valores de $f$ son lo suficientemente grandes, de que no hay restricción] garantiza la convexidad de $g$.