¿Por qué los efectos aleatorios en un modelo mixto siempre tienen una media de cero?

Question

Estoy estudiando el modelo mixto lineal$y=X\beta + Z\gamma + \epsilon$ donde$\beta$ es un vector de efectos fijos, y parece que$\gamma$ generalmente se especifica como$\gamma \sim N(0,I\sigma^2)$.

Mi pregunta es ¿por qué$\gamma$ tiene una media de cero?

Si especifico$\gamma \sim N(\alpha,I\sigma^2)$, donde$\alpha$ es un vector de constantes distintas a cero, entonces$y=X\beta + Z\alpha + Z\gamma^* + \epsilon$ donde$\gamma^* \sim N(0,I\sigma^2)$. ¿Hay algo incoherente con este modelo, puede$Z$ ejercer efectos tanto fijos como aleatorios?

Answer 1

La media de $\gamma$ ya se juega por la intersección. Si se incluyen tanto una intercepción y el parámetro $\alpha$ ($\gamma \sim N(\alpha, \sigma^2 I)$), a continuación, el modelo será overparametrised y habrá confusión. El modelo se dice que no es de identificación personal.

es decir,

$$y = \alpha + \gamma,\quad \gamma \sim \mathcal N(\color{green}{0}, \sigma^2_\gamma)$$ es el mismo que $$y = \gamma,\quad \gamma \sim \mathcal N(\color{green}{\alpha}, \sigma^2_\gamma)$$

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EDIT: Como se nota por @fcop en su comentario a continuación, la discusión anterior se refiere a un intercepto aleatorio. De la misma manera, la media de un efecto aleatorio es desempeñado por el correspondiente efecto fijo coeficiente.