$\int^b_af(x)\,x^k \, dx=\int^b_ag(x)\,x^k \, dx$ , para todos los $k \in \mathbb{N}$

Question

Si $f, g\in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ y $$\int^b_af(x)\,x^k \, dx=\int^b_ag(x)\,x^k \, dx, \text{ for all } k \in \mathbb{N}$$ Prove that $f=g$.

Estoy tratando de probar esto, pero no sé cómo proceder. Alguna sugerencia?

Answer 1

Deje $h:= f-g$. La hipótesis afirma que $ \int h p = 0$ para cualquier polinomio $p$.

Para empezar, se aplica de Stone-Weierstrass para conseguir que los polinomios son uniformemente densa en $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$.

En particular, para $\epsilon >0$, podemos encontrar un polinomio $p$ tal que $ \| h-p \|_\infty < \varepsilon $.

Por lo tanto, $$ \left| \int h^2 \right| \leq \left| \int h p \right| + \left| \int h (h-p) \right| \leq \varepsilon \left| \int h \right|. $$

Desde $h$ es continua, $| \int h | < \infty $ y, por tanto,$ \int h^2 = 0$.

Pero para cualquier función continua, esto es, precisamente, $h=0$ o $f=g$.

Answer 2

$\int_a ^{b} xf(x) x^{k} dx=\int_a ^{b} xf(x) x^{k} dx$ $k \geq 0$ . Por lo tanto, por norma Weierstarss aproximación $xf(x)=xg(x)$ para todo x que le da lo que quiere.

Answer 3

Tal vez una exageración. Uno sabe afinando Stone-Weierstrass que los polinomios son densos en $C[a, b] $ $\Vert \cdot \Vert_2$ norma. Deje $\mathcal P$ ser el conjunto de todos los polinomios. Lo que usted ha escrito es equivalente a $$<f-g, p>=\int_a^b (f(x) - g(x) ) p(x) = 0$$ for every polynomial $p\in \mathcal P$. Hence $f(x)-g(x) $ is in the annihilator of $\mathcal P$, namely $\mathcal {P} ^\asesino$ and since $\mathcal P$ is dense we get $f(x) - g(x) \in \mathcal {P} ^\asesino=\{0\} $. Hence $f=g$.

Editar/Comentario. la misma idea también funciona si $0\notin\mathbb{N}$. Que la prueba se deja para el lector.