Hacer todos los ángulos se producen en espacios de Hilbert?

Question

Deje $X$ ser un espacio de Hilbert con el producto escalar $(\cdot,\cdot)$. Luego de dos vectores $v,w$ norma $1$, podemos interpretar $(v,w)$ como un ángulo, de modo que $(v,w)=\cos(\varphi)$ para un único ángulo de $\varphi\in[0,\pi)$.

Mi pregunta es la siguiente: Vamos a $\varphi'\in[0,\pi)$ $v'\in X$ $\|v'\|=1$ (norma inducida por el producto escalar). Hay un vector $w'\in X$$(v',w')=\cos(\varphi')$?

Gracias de antemano!

Answer 1

Cada espacio de Hilbert tiene base ortonormales. La base puede ser elegida de tal forma que contenga el vector dado.$v'$.

Si la base tiene al menos dos elementos (=si el espacio de $X$ no 1-dimensional), entonces usted tiene dos vectores ortogonales $v'$ $w$ en la base. Ahora si $w'=v'+cw$ algunos $c\in\mathbb R$, luego $$(v',w')=(v',cv'+w)=c(v',v')=c,$$ y tenemos $$\cos\varphi=\frac{(v',w')}{\|v'\|\cdot\|w'\|}=\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}.$$ La expresión $c/\sqrt{1+c^2}$ puede alcanzar cualquier valor en $(-1,1)$.

Podemos obtener $\cos\varphi=1$ eligiendo $w'=v'$ $\cos\varphi=-1$ eligiendo $w'=-v'$.

Así que usted puede obtener un valor arbitrario de que el ángulo entre el$v'$$w'$.

Answer 2

Deje $w$ ser ortogonales $v$, $\lVert v \rVert = \lVert w \rVert = 1$. Tenemos $$ \lVert \sin(\phi) w + \cos(\phi) v \rVert^2 = \sin(\phi)^2 + \cos(\phi)^2 = 1 $$ y $$ (v, \sin(\phi) w + \cos(\phi) v) = \cos(\phi) $$