Tuve un problema en mi clase de física. Me han dado este diagrama de un objeto en caída libre en un planeta ficticio "Newtonia":
Los puntos representan "instantáneas" del objeto cada segundo. Las distancias entre cada posición están marcadas en el diagrama.
A partir de esto, tuve que encontrar:
- (a) Aceleración
- (b) Velocidad instantánea en el segundo punto
- (c) La distancia por encima del primer punto desde el que se ha dejado caer el objeto.
Mi solución:
He supuesto que el primer punto está en $t=0$ el siguiente punto está en $t=1$ etc. A continuación, si $s(t)$ es la función de desplazamiento del tiempo, entonces los siguientes puntos tendrán que estar en la función: $(0,0),(1,3.4),(2,7.8)$ .
Otra observación sobre la función de posición es que será una función cuadrática como ésta:
$$s(t)=pt^2+qt+r$$
Utilizando los tres puntos anteriores, puedo hallar la ecuación de la función de posición estableciendo un sistema de tres ecuaciones:
$$(0,0) \;\Longrightarrow\; (0^2)p+(0)q+r=0$$ $$(1,3.4) \;\Longrightarrow\; (1^2)p+(1)q+r=3.4$$ $$(2,7.8) \;\Longrightarrow\; (2^2)p+(2)q+r=7.8$$
De la primera ecuación se deduce que $r=0$ . Esto simplifica el sistema en dos ecuaciones:
$$p+q=3.4$$ $$4p+2q=7.8$$
Resolviendo, obtenemos $p=0.5$ y $q=2.9$ . Y ahora, como tenemos p, q y r, sabemos que la función de posición es:
$$s(t)=0.5t^2+2.9t$$
Las funciones de velocidad y aceleración son derivadas de primer y segundo orden respectivamente, por lo que:
$$v(t)=t+2.9$$ $$a(t)=1$$
Desde aquí:
- (a) La aceleración es $\boxed{1m/s^2}$
- (b) La velocidad instantánea en el segundo punto ( $t=1$ ) es $1+2.9=\boxed{3.9m/s}$
- (c) La velocidad de caída del objeto es $0m/s$ . Esto significa que $0=t+2.9$ Así pues $t=-2.9s$ . Introduciendo la función de desplazamiento, tenemos $s(-2.9)=-4.205$ . Por lo tanto, el objeto se dejó caer en $\boxed{4.205m\;\,\text{above the first dot.}}$
¿Cuál es el problema?
Estoy en una clase de física sin cálculo. Mi profesor nos dijo que calculáramos la velocidad "instantánea" en el segundo punto en este caso simplemente tomando la longitud del primer intervalo ( $3.4m$ ) y dividiendo por $1s$ . Obviamente, esto no es cierto, ya que la aceleración es distinta de cero, lo que significa que el resultado no será instantáneo, sino que media velocidad. Es una buena aproximación, pero no la respuesta exacta.
Dado que mi clase de física es una típica clase de física de secundaria sin cálculo, la respuesta aproximada dada por mi profesor sería aceptable, supongo. Pero tengo curiosidad por saber si es posible obtener la respuestas exactas sin cálculo (He intentado abordarlo de diferentes maneras, pero no he conseguido nada, aparte de que me duele la cabeza).
