Jet paquete - paquete afín

Question

Supongamos $X\rightarrow V$ es una fibra paquete. $X^{(r)}$ indica el paquete cuya fibra en cada una de las $x$ es el conjunto de todas las clases de equivalencia de a $r$-jets.

Desde $r$-de tangencia es un fino relación de equivalencia para mayor $r$, se deduce que no son canónicos proyecciones de $X^{(r)}\rightarrow X^{(r-1)}$.

Un ejercicio que dice que esto es un bundle con el afín de fibra. Yo no sé, un espacio meramente afín implica, que no hay canónica de la elección de un vector cero, sino que hay una acción transitiva de un espacio vectorial.

Pero la proyección es sólo $(x,f(x),...D^kf(x) ... D^{r-1}f(x),D^rf(x))\rightarrow (x,f(x),...D^kf(x) ... D^{r-1}f(x))$

donde $D^kf(x)$ es la tupla de todo orden $k$ derivadas parciales de $f$$x$.

No entiendo por qué sólo 'afín' y por qué no hay una canónica de la sección cero. Es a causa de que no siempre se puede encontrar $g$ ($r-1$) tangente a $f$ $x$ y tiene todo el fin de $r$ derivados de fuga en $x$?

Agradecido de antemano por la aclaración.

Answer 1

Permítanme darles un ejemplo sencillo.

Deje que su colector de ser $\mathbb{R}$. Se consideran dos diferentes parametrisations (coordenadas) de satisfacciones

$$ y = x + x^3 $$

(Tenga en cuenta que $x\mapsto y$ es bijective, con derivado $\partial_x y = 1 + x^2 \geq 1$, por lo que es un diffeomorphism de $\mathbb{R}$ a sí mismo.)

Deje $f(x)$ ser la función de $x + x^3$. En términos de las coordenadas $y$$f(y) = y$.

En términos de la $y$ coordenadas, la mayor de derivados de $f^{(k;y)}(y) = 0$ todos los $k > 1$. Pero en términos de la $x$ coordenadas, se tiene que, en particular, $f^{(3;x)}(x) \equiv 6 \neq 0$.

Recuerde que los chorros se supone para ser una coordenada invariante forma de mirar a la "serie de Taylor", asociada a una función, y aquí vemos que si el $k$-ésima derivada de una función dada se desvanece puede depender de las coordenadas elegidas.

Así, a propos

Es a causa de que no siempre se puede encontrar $g$ $(r−1)$- tangente a $f$ $x$ y tiene todo el fin de $r$ derivados de fuga en $x$?

Su interpretación no es estrictamente correcto. Fijar un sistema de coordenadas en un barrio de $x$, entonces la función

$$ g(y) = \sum_{|\alpha| < r} \frac{1}{\alpha!} f^{\alpha}(x)(y-x)^\alpha $$

obtenida por la toma de la primera $(r-1)$ términos en la serie de Taylor de $f$ $(r-1)$- tangente a $f$$x$, y se han de fuga $r$ derivados en el sistema de coordenadas. El problema es que si hacemos un cambio de coordenadas, con la excepción en los casos en $f$ es la función constante, siempre se puede encontrar un sistema de coordenadas diferente en el que las coordenadas derivadas parciales de $g$ orden $r$ es distinto de cero.

En otras palabras, "de forma genérica, la desaparición de todas las $r$-th derivadas de orden es no coordinar invariante para $r > 1$".

Answer 2

Debido a que usted está trabajando con los colectores y no espacios vectoriales. Si el cambio de coordenadas, para$k>1$, $k$th derivada es sólo tensorial modulo inferior derivados.