El teorema de Liouville: Cómo conseguir un invariante de la medida?

Question

Liouville del teorema establece que el `natural' 2-de se conserva bajo el Hamiltoniano de flujo. Al parecer, esto conduce a un invariante de medida $\mu$ como sigue

\begin{equation} d\mu = \frac{d\sigma}{|| \nabla H ||} \end{equation} donde $H$ es el Hamiltoniano y $d\sigma$ un infinitesimal de volumen estándar elemento. Nunca he entendido cómo se llega a esto y por qué no considerar la 2-forma de la Hamiltoniana como una medida. Los libros que he visto hasta ahora parece que la etiqueta de este trivial, pero no veo la conexión. Podría alguien explicar esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Yo no soy un experto, pero hay 2 formas de no hacer un buen volumen de las formas, ya que son esencialmente de 2 dimensiones. En cualquier$n$-colector, la forma de volumen debe ser un $n$ -, ya que, por ejemplo, en el espacio Euclidiano, sus se $n$independiente de las direcciones en donde escalado por $a$ multiplica el volumen por $a$. No estoy seguro de cómo se derivan de que la primera ecuación, sin embargo. Parece que acaba de deshacer la regla de la cadena. Esperemos que alguien va a publicar una respuesta completa, pero quiero agregar a mis 2 centavos.