Demostrar que al isomorfismo hay dos integral de los dominios de la orden de $p^2$.

Question

Demostrar que al isomorfismo no es exactamente una integral dominio de la orden de $p^2$ .

No existen sólo dos no-conmutativa anillos de orden $p^2$ hasta un isomorfismo?

Sabemos que cualquier grupo de orden $p^2$ es abelian y también cualquier grupo abelian de orden $p^2$ es isomorfo a $\Bbb Z_p\times \Bbb Z_p$ o $\Bbb Z_{p^2}$.

En fin para los anillos isomorfos los grupos correspondientes deben ser isomorfos.Pero soy incapaz de extender el resultado de los anillos.

Por favor dar algunos consejos.

Answer 1

Deje $R$ ser finito distinto de cero anillo, no necesariamente conmutativo, no necesariamente tener identidad, pero tiene la propiedad de que $ab=0$ implica que uno de $a,b$ es cero.

Deje $a$ ser distinto de cero en $R$. Luego a la izquierda de la multiplicación por $a$ es un bijection de $R$ y no existe $b$ tal que $ab=a$. De ello se desprende que $ab^2=ab$$b^2=b\neq0$, de modo que $b$ es un valor distinto de cero idempotente. En esta pregunta se puede ver por $b$ es el elemento de identidad de $R$.

Por Wedderburn del pequeño teorema de, $R$ es un campo. Es bien sabido que no es sólo un campo de orden de $p^n$ para cualquier prime $p$$n>0$.

Así, no veo cómo la pregunta podría ser la correcta en el marco de cualquier interpretación, hasta el momento. Por favor, vuelva a comprobar y confirmar el origen de su pregunta.