Mostrando que un conjunto X con una topología trivial no es metrizable

Question

Este ejercicio es de una lista de "desafíos" que nos dio nuestro profesor de análisis para hacer:

Sea $X$ un conjunto. Hay dos topologías triviales:

Topología Indiscreta (no estoy seguro si este es el nombre real, ya que estoy traduciendo desde otro idioma): los conjuntos abiertos son exactamente $X$ y el conjunto vacío.

Topología Discreta: cada subconjunto de $X$ es abierto.

Concluye que la topología indiscreta no es metrizable y la topología discreta es metrizable.

Mi problema es que este es un curso de "primero/segundo" en análisis real y nadie en la clase ha visto topología y espacios métricos más allá de lo básico, así que prácticamente no tengo idea de cómo hacer esto. Se agradecerán mucho sugerencias sobre cómo demostrar esto (las pruebas en sí no son necesarias).

P.D.: He revisado algunos libros de topología por mi cuenta y creo que no debo utilizar cosas como espacios de Hausdorff y cosas así (ni siquiera estoy seguro si ese es el camino correcto).

Answer 1

Estás casi allí.

Para que un espacio tenga una métrica, debes poder distinguir cualquier par de puntos, es decir: $d(x,y)=0$ si y solo si $x=y$. Pero la topología indiscreta tiene muy pocos conjuntos abiertos para que esto sea posible, es decir, no puede haber ninguna bola-$\epsilon$ que separe $x$ de $y.

Para la topología discreta, aquí hay una pista: la métrica discreta.

(alternativamente: todo espacio métrico es Hausdorff)

Answer 2

Que $X$ tiene más de un elemento es implícito en las respuestas anteriores. Si $X$ tiene exactamente un elemento, las topologías discreta e indiscreta coinciden y son metrizables.

Answer 3

La topología discreta es metrizable, $d(x,y)=1$ para todo $x\neq y$. La topología indiscreta (si $|X|>1$) no es metrizable ya que, por ejemplo, los puntos no pueden ser separados. En un espacio métrico, dos puntos distintos $x$ y $y$ tienen vecindarios disjuntos, por ejemplo $$ U_x=\{z \in X : d(x,z)<\delta/2\}, \quad U_y = \{z\in X : d(y,z)<\delta/2\} $$ donde $\delta = d(x,y)$.

Answer 4

Para un espacio topológico indiscreto:

Supongamos que $(X,\tau)$ es metrizable y sea G la familia de todos los conjuntos abiertos generados por la métrica d. Entonces decimos que $G= \tau$

Sean $x,y\in X$ y $d(x,y)=2r$ $(r>0)$ para $x\neq y$. Entonces

$B(x,r)\cap B(y,r) = \emptyset$. Por otro lado $B(x,r)$ y $B(y,r)$ son conjuntos no vacíos que pertenecen a G y debido a que $G=\tau=\{ \emptyset,X\}$, decimos que $B(x,r)=B(y,r)=X$ lo cual nos lleva a una contradicción. Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta, $(X,\tau)$ no es metrizable.