Matrices ortogonales y matrices simplécticas y preservación de formas

Question

Me gustaría conocer las propiedades de las matrices ortogonales y simplécticas en términos de las formas que preservan. ¿Podría alguien añadir y/o corregir, tal vez dar algunas referencias/ejemplos?

AFAIK, dada una forma cuadrática q en un espacio vectorial V sobre un campo F, existe un grupo ortogonal asociado O(2n), un subgrupo de GL(n,F), que preserva q; si F son los reales O(2n) preserva q= producto interno y norma (ya que en R, la norma es inducida por el producto interno). Las matrices simplécticas sólo preservan las formas simplécticas, es decir, las formas bilineales, antisimétricas y no degeneradas.

¿Existen relaciones entre estos grupos; se solapan, se cruzan, etc.?

Me interesa sobre todo el caso en el que el campo es Z/2.

Gracias

Answer 1

Sobre los reales la intersección de los grupos ortogonales y simplécticos en dimensión par es isomorfa al grupo unitario en la dimensión media.

$ U(n) = O(2n, \mathbf{R}) \cap Sp(2n, \mathbf{R})$

Esta es la 2 de 3 propiedades que expresa la compatibilidad de la estructura simpléctica con la forma bilineal simétrica del grupo ortogonal.

El grupo ortogonal sobre $Z_2$ es un subgrupo del grupo simpléctico porque una forma bilineal simétrica también es alternante (ya que $-1 = +1$ ).

El grupo simpléctico completo $Sp(2n, Z_2)$ se puede realizar a partir de la acción del $2^n$ grupo Clifford dimensional sobre los bits del binario representación binaria de los vectores base (hasta una fase) como se explica en Daniel Gottesmann papel.