Cómo generar $2\times 2$ matriz con números enteros entradas y ambos autovalores interior de la unidad de disco

Question

Estoy buscando un método para generar $2\times 2$ matrices cuyos elementos son enteros y cuyos valores se encuentran dentro de la unidad de disco.

Me doy cuenta de que yo pudiera hacerlo a través de matrices similares, es decir, tomar matriz $A$ a ser una diagonal de uno, y, a continuación, la matriz de $B=P^{-1}AP$ tienen los mismos autovalores. Mi pregunta es - ¿cómo garantizar que los elementos de la matriz $B$ son enteros?

EDITAR: Lo que me interesa en última instancia, es la forma asintótica de la estabilidad de los sistemas lineales de tiempo discreto del tipo $x(k+1)= Ax(k)$ donde $x(k)$ es el estado del sistema en el paso de tiempo $k$. Asintótica de la estabilidad de un sistema es equivalente a $A$ tener todos sus autovalores en el interior de abrir la unidad de disco, que es equivalente a la existencia de resultados positivos de solución definitiva de $P > 0$ a discreta de la ecuación de Lyapunov $A^TPA-P = -Z$ algunos $Z$ positiva definida. Por lo tanto, lo que yo estoy buscando es una solución de $P$ de la ecuación anterior con números enteros o racionales de los elementos, y pensó inicialmente que $A$ con elementos de entero puede ser un camino para llegar allí.

Answer 1

La suma de los autovalores es $\operatorname{tr} A$ y su producto es $\det A$, y estas expresiones son números enteros. Entonces llegamos a la conclusión de $|\det A|\le1$ $|\operatorname{tr} A|\le 2$ (suponiendo que considerar la cerrada de la unidad de disco). Por ejemplo, el caso más simple $\det A=\operatorname{tr} A= 0$ conduce a $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}$$a^2=-bc$; esto puede ser reescrita como $A=\begin{pmatrix}uvd&-u^2d\\v^2d&-uvd\end{pmatrix}$$u,v,d\in\mathbb Z$. El resto de los casos conducen a similar Diophantine condiciones.

Esto puede parecer confuso, pero ahora podemos explotar su idea de la similitud. Sin embargo, $A$ es similar a una matriz diagonal sólo sobre $\mathbb C$. Mejor restringir su $P$ matrices de los elementos de $SL(2,\mathbb Z)$. Esto al menos le permite lograr cosas como por ejemplo $|c|\le |a|$.

Answer 2

Desde su matriz es real, los autovalores son reales o venir en el complejo conjugado de pares. La parte real de la pareja es la mitad de la traza, y puesto que debe permanecer estrictamente dentro del círculo unidad, su matriz debe tener cero de seguimiento (de manera similar, el promedio de los valores propios deben estar en el círculo unidad, si ambos son). Si ambos valores se encuentran dentro del círculo unitario, entonces su producto es también, por lo $\det A < 1$. Desde el determinante es un número entero, entonces $\det A = 0$. Un cero de traza cero el determinante de la matriz es muy limitada (y probablemente trivial para su aplicación), pero voy a parametrizar ellos de todos modos. Debe ser de la forma $$ \begin{bmatrix} a&b\\c&-a\end{bmatrix}$$ La condición de $\det A = 0$ es equivalente a $a^2+bc = 0$. Así que elige un entero aleatorio $a$, calcular factorizations de $a^2$, a continuación, elija $b$ $c$ de signo opuesto de posibles factorizations.