El álgebra de Lindenbaum es un álgebra libre

Question

Lo siguiente es una continuación de este pregunta.

Me gustaría demostrar que el álgebra de Lindenbaum es un álgebra libre. Me gustaría escuchar pistas sobre cómo proceder en la dirección "correcta".

Dejemos que $X$ sea un conjunto de variables proposicionales, $M$ el conjunto de todas las expresiones booleanas sobre $X$ y $L = M/_{\sim}$ la partición de $M$ en oraciones lógicamente equivalentes.

La afirmación es que $L$ es libre en $X$ con respecto al mapa $e:X \mapsto L$ definido como $e(x) = [x]$ donde $[x]$ denota la clase de equivalencia de $x \in X.$

Dejemos que $B$ sea cualquier álgebra booleana y $f:X\mapsto B$ cualquier función. Queremos argumentar que existe precisamente un homomorfismo $\overline{f}:L\mapsto B$ para que $\overline{f}\circ e = f.$ La única opción que veo es ampliar el mapa definido como $$\overline{f}([a]) = f(x) \; \hbox{if} \; x \in X \; \hbox{and} \; [x] = [a]$$

a un homomorfismo de forma natural (si $[a]$ no es la clase de equivalencia del elemento proposicional entonces aplica $\overline{f}$ para llegar recursivamente a los subterráneos de un elemento compuesto en $[a]$ )

La siguiente parece ser la forma incorrecta de hacerlo ya que entonces uno tiene muchos tecnicismos que mostrar.

1. $\overline{f}$ está bien definida.

2. Que $\overline{f}$ es efectivamente el único homomorfismo posible. ¿Es válido utilizar un argumento inductivo para demostrar que si $\overline{g}$ es otro homomorfismo de este tipo, entonces tiene que ser que $\overline{f} = \overline{g}$ desde $f,g$ coinciden para todos los elementos que son clases de equivalencia de variables proposicionales y cualquier otro elemento en $L$ es una expresión finita de estos?

Como he dicho creo que no he definido $\overline{f}$ de manera conveniente para permitirme demostrar las condiciones necesarias.

¿Hay una forma mejor de enfocar esto?

Answer 1

Lo que estás haciendo está bien: quieres definir $\bar f$ por recursión estructural sobre fórmulas de $L$ . La base es lo que ya tienes: $\bar f\big([x]\big)=f(x)$ para $x\in X$ . Ahora bien, si $\varphi,\psi\in L$ y $\bar f\big([\varphi]\big)$ y $\bar f\big([\psi]\big)$ han sido definidos, dejemos que

$$\begin{align*} &\bar f\big([\varphi\lor\psi]\big)=\bar f\big([\varphi]\big)\lor\bar f\big([\psi]\big),\\ &\bar f\big([\varphi\land\psi]\big)=\bar f\big([\varphi]\big)\land\bar f\big([\psi]\big),\text{ and }\\ &\bar f\big([\lnot\varphi]\big)=\lnot\bar f\big([\varphi]\big)\;. \end{align*}$$

Usted sabe que si $\varphi\equiv\varphi'$ y $\psi\equiv\psi'$ entonces $\varphi\lor\psi\equiv\varphi'\lor\psi'$ , $\varphi\land\psi\equiv\varphi'\land\psi'$ y $\lnot\varphi\equiv\lnot\varphi'$ Así que $\bar f$ está bien definida. Para demostrar que $\bar f$ es única, basta con hacer lo que se ha esbozado en (2): demostrar por inducción estructural (paralelamente a la recursión estructural que define $\bar f$ ) que si $g:L\to B$ es un homomorfismo tal que $g\!\upharpoonright\! X=f$ entonces $g=\bar f$ .