La prueba de una SDE tiene una única solución fuerte

Question

Tengo la ecuación diferencial estocástica

$$dX_t = \ln(1+ X_t^2) \, dt + X_t \, dB_t$$

En esta ecuación, $X_0 = x$, e $x \in\mathbb R$.

¿Cómo podemos demostrar que esta ecuación tiene una única solución fuerte?

Answer 1

Deje $f(x) = \ln(1+x^2)$. Entonces \begin{align*} |f'(x)| = \frac{2|x|}{1+x^2} \le 1. \end{align*} Por lo tanto, la condición de Lipschitz es satisfecho, y no hay una única solución fuerte.