El problema de las polinomio característico, autovalores

Question

Estoy teniendo problemas para resolver la siguiente pregunta: Sea a una matriz con el siguiente polinomio característico: $\,p(t)=t^3+2t^2-3t\,$.

Demostrar que la matriz de $\,A^2+A-2I\,$ es similar a la de la matriz$$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&4&0\\0&0&\!\!\!-2\end{pmatrix}$$

Ya he averiguado que los autovalores de a$A$$0,1,-3$, $\,A^2+A-2I\,$ es igual a $\,(A+2I)(A-I)\,$. También, los autovalores de a $\,A+tI\,$ son los valores propios de $\,A+t\,$ ($\,+t\,$ a cada autovalor). Lo único que queda ahora es la multiplicación de dos matrices, ¿qué puedo saber? Hay otra manera de resolver la pregunta? Gracias!

Answer 1

Creo que he respondido a la pregunta: Si $\,x_1,..,x_n\,$ son los autovalores de a $A$, no sólo que los autovalores de a$\,A+tI\,$$\,x_1+t,...,x_n+t\,$, pero también son los autovalores con los mismos vectores propios. Del mismo modo $\,A+t_1I\,,\,A+t_2I\,$ tienen valores propios que difieren en $\,t_2-t_1\,$ y con los mismos vectores propios.

Ahora, si $\,v_1\,$ es un común autovalor de a $A$ y $B$, $$\,ABv_1=A(Bv_1)=A(yv_1)=y(Av_1)=y(xv_1)=xyv_1\,$$ Meaning, the eigenvalues of $AB$ are $xy$ where x is $'$s eigenvalue and $s$ is $B'$s valor propio.

Por lo tanto, si los eigen valores de$A$$0,1,-3$, los autovalores de a$A+2I$$A-I$$3,-1,2$$0,4,-1$, por lo que los autovalores de a$(A+2I)(A-I)=3\cdot 0\,,\,4\cdot (-1)$$(-1)\cdot 2\,$ , que se $D'$s autovalores. Las matrices tienen los mismos valores propios, por lo que son similares. Estoy en lo cierto?

Answer 2

Desde Una tiene 3 distintos autovalores, es similar a una matriz diagonal:

$$ A=PDP^{-1} $$ $$ D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

Ahora su polinomio en a se convierte en: $$ A^2+A-2I=(PDP^{-1})^2+(PPD^{-1})-2(PP^{-1})\\=DP^2P^{-1}+PPD^{-1}-2PP^{-1}\\=P(D^2+D-2I)P^{-1} $$ Por lo tanto la matriz de $A^2+A-2I$ es similar a $D^2+D-2I=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]$