Anillo de holomorphic funciones

Question

Estoy en lo cierto o no? Creo que un anillo de holomorphic funciones de una variable no es un UFD, porque hay holomorphic funciones con un número infinito de $0$'s, y por lo tanto tendrá un número infinito de factores irreducibles! Pero yo soy incapaz de un ejemplo concreto. Por favor, dar algún ejemplo.

Answer 1

Usted es perfectamente correcto: el anillo de la totalidad de las funciones de $\mathcal O(\mathbb C)$ no es un disco flash usb. Aquí es por qué:

En un UFD un elemento no nulo tiene sólo un número finito de irreductible (=primer) divisores y esto no es para nuestro anillo de $\mathcal O(\mathbb C)$.
De hecho, el único de los números primos en $\mathcal O(\mathbb C)$ son los afín a las funciones de $z-a$ y por otro lado la función de $\sin(z)$ se divide por la infinidad de números primos $z-k\pi\; (k\in \mathbb Z) $.

La misma prueba se muestra que, para un dominio arbitrario $D$ el anillo de $\mathcal O(D)$ no es un disco flash usb, una vez que sabes del teorema de Weierstrass que implica que existen no idéntica a cero holomorphic funciones en $D$ con una infinidad de ceros.

NB
Es suficiente para la prueba anterior para mostrar que el $z-a$ son irreducibles en $\mathcal O(\mathbb C)$ (no es necesario que no haya ningún otro irreducibles). Y eso es fácil: si $a=0$ por ejemplo, escribir $z=fg$ y verás que $f$ (por ejemplo) no tiene ninguna cero y es por tanto una unidad de $f\in \mathcal O(\mathbb C)^*$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(z):=\sin(\pi z)=\pi z\prod_{j=1}^{+\infty}\left(1-\frac{z^2}{j^2}\right)$. Es un holomophic función, y los ceros son los números enteros. Si $f$ podría ser escrito como el producto de una unidad y un producto finito de elementos irreductibles de $\mathcal O(\Bbb C)$, entonces uno de estos elementos irreductibles habría una infinidad de raíces. No es posible, por ejemplo si $r_n$ son las raíces de este tipo de elementos $g_1$, $g_1(z)=(z-r_1)h_1(z)$ donde $h_1(z)=\prod_{j=2}^{+\infty}(z-r_j)a_j$ y ninguno de estos dos elementos es una unidad.

Answer 3

Ver el $f(z)=\sin(z)$ por ejemplo...