Descomposición del color de la amplitud de árbol de $n-$gluones

Question

Tengo aquí una teoría de Yang-Mills $SU(N_c)$ y dejemos que el índice $i$ etiquete los $n$-gluones, y $\{k_i, \lambda_i, a_i\}$ sea su momento, helicidad e índice de color y $\cal{A}_n^{tree/1-loop}(\{k_i, \lambda_i, a_i\})$ sea la amplitud de nivel de árbol/1-loop para su dispersión. Entonces aparentemente se cumplen las siguientes dos ecuaciones:

• ${\cal A}_n^{tree}(\{k_i, \lambda_i, a_i\}) = g^{n-2}\sum_{\sigma \in S_n/\mathbb{Z}_n} Tr[T^{a_\sigma (1)}\ldots T^{a_\sigma (n)}] A_{n}^{tree}(\sigma(1^{\lambda_1})\ldots\sigma(n^{\lambda_n}))

• $ {\cal A}_n^{1-loop}(\{k_i, \lambda_i, a_i\}) = g^n [ \sum_{\sigma \in S_n/\mathbb{Z}_n} N_c Tr[T^{a_\sigma(1)}\ldots T^{a_\sigma(n)}] A_{n;1}^{tree}(\sigma(1^{\lambda_1})\ldots\sigma(n^{\lambda_n})) +$ $ \sum _ {c=2} ^{[\frac{n}{2}] +1} Tr[T^{a_\sigma (1)}\ldots T^{a_\sigma(c-1)}] Tr[T^{a_\sigma (c)}\ldots T^{a_\sigma(n)}] A_{n;c}^{tree}(\sigma(1^{\lambda_1})\ldots\sigma(n^{\lambda_n}))] $

Quiero saber la prueba para las dos ecuaciones anteriores.

Parece que este apunte de clase intenta esbozar algún argumento para la primera de las dos expresiones anteriores pero luego no queda muy claro.

• Aunque no he visto esto escrito claramente en ninguna parte, supongo que los factores de $A_n^{tree}$ y $A_{n;1}$ y $A_{n;c}$ que ocurren en el lado derecho de las dos ecuaciones anteriores son lo que se llaman "amplitudes de color ordenadas". Sería genial si alguien pudiera decir algo sobre esta idea también. (.. tengo planeado hacer otra pregunta separada más adelante centrándome en ese aspecto..)

{.. ¡parece que mi LaTeX está todo desordenado! Sería genial si alguien pudiera editar eso y explicar en una línea qué ha salido mal..}

Answer 1

Puedes mostrar que la amplitud tiene esa forma al pensar en las reglas de Feynman. Solo discutiré partículas en la representación adjunta (esto es adecuado para teorías supersimétricas), pero esto se puede hacer de manera más general. Ten en cuenta que si tienes partículas que se transforman en la representación fundamental de $SU(N)$ entonces la amplitud no tiene la forma de tu pregunta.

Piensa en el vértice de tres gluones. Contiene un factor $f^{a b c}$ que, hasta una constante, se puede escribir como $\operatorname{tr}(T^a [T^b, T^c]) = \operatorname{tr}(T^a T^b T^c) - \operatorname{tr}(T^a T^c T^b)$. Por lo tanto, esto se puede escribir como una combinación de trazas de productos de generadores de álgebra de Lie. Ahora, piensa en unir dos de esos vértices triples. Tenemos que calcular cantidades como $\operatorname{tr}(T^a T^b T^c) \operatorname{tr}(T^c T^d T^e)$, donde el índice $c$ está sumado.

Ahora, para $SU(N)$ tenemos que $$ (T^a)_i^j (T^a)_k^l = \delta^j_k \delta^l_i - \frac 1 N \delta^i_j \delta^k_l, $$ donde sumamos sobre el índice $a$. Para $U(N)$ el último término en el lado derecho está ausente. Usando esto, verás que el factor de color para unir dos vértices triples también se puede escribir como una sola traza. Lo mismo se puede hacer para el vértice cuártico.

Para un proceso de dispersión a nivel de árbol, puedes hacer esto de forma recursiva. Comienzas con algún vértice triple y sigues uniendo otros vértices y usando las dos identidades anteriores siempre puedes reescribir la respuesta como una sola traza.

En nivel de bucle, esto no funciona porque puedes obtener cosas como $\operatorname{tr}(T^a \cdots T^b T^c) \operatorname{tr}(T^c T^d \cdots T^b)$, con suma sobre $b$ y $c$. Usando la identidad de $SU(N)$ obtienes una contribución $\operatorname{tr}(T^a \cdots T^b T^d \cdots T^b)$. Ahora, usando la identidad nuevamente obtienes $\operatorname{tr}(T^a \cdots) \operatorname{tr}(T^d \cdots)$. En general, a $\ell$ bucles puedes tener $\ell+1$ trazas si tienes un número lo suficientemente grande de partículas.