Línea tangente a un ser infinitamente diferenciable de la curva de

Question

Tenemos una curva de $A$, que consta de todos los puntos de $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ que satisfacer $$9x + 27y - \dfrac{10}{81} (x+y)^3 = 0$$

Estás dado que la curva de $A$, lo suficientemente cerca de a $(0,0)$, es el gráfico de un ser infinitamente derivable la función $f$ (que se define en un pequeño intervalo abierto que incluye a $0)$. Encontrar $f"(0)$.

No sé cómo hacer frente a este problema. Mi primer paso fue tratar de encontrar $f'(x)$ obviamente, pero no sé cómo hacerlo. No he estudiado cálculo multivariable todavía, así que no estoy exactamente seguro de cómo encontrar la recta tangente a$A$$(0,0)$. Sin embargo, intuitivamente diría usted puede también encontrar la tangente a la línea en forma de $y=ax+b$, de modo que podría hacerlo sin la definición de la total de derivados (que busqué en google), pero ahora no sé cómo encontrar la recta tangente a $y=ax+b$. Alguien tiene sugerencias?

Answer 1

Para encontrar la primera derivada debe tomar la derivada de la $x$'s y $y$'s y dividir el $x$-derivados por la $y$derivados para obtener $\frac{dy}{dx}$. Finde para que esto suceda, asegúrese de colocar $\frac{dy}{dx}$ $y$ partes diferenciadas. (Las marcas representan la parte de la función original, que es diferenciado).

$$9x+27y-\frac{10}{81}(x+y)^3=0$$ $$9x'+{27y}'-\left(\frac{10}{81}(x+y)^3\right)'=0$$ $$9+27\frac{dy}{dx}-\frac{30}{81}(x+y)^2\left(x'+y'\right)=0$$ $$9+\left(27\frac{dy}{dx}\right)-\frac{30}{81}(x+y)^2\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)=0$$

A partir de aquí, usted debería averiguar..

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-729+30(x+y)^{2}}{2187-30(x+y)^2}$$

Ahora para encontrar la recta tangente en el punto de $(a,b)$, saber que

$y=f'(a,b)(x-a)+b$

Donde$x=a$$y=b$.

Ahora para $(0,0)$ sustituto $x=0$ $y=0$ a la primera derivada.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-729+30(x+y)^{2}}{2187-30(x+y)^2}=-\frac{729}{2187}=-\frac{1}{3}$$

$y=-\frac{1}{3}x$

Sin embargo encontrar esta línea tangente es ineficiente para encontrar la respuesta a su problema. En lugar usted debe seguir para calcular la segunda derivada.

La segunda derivada es difícil, pero usted debe saber que $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{3}$, por lo que puede ser calculado en $x=0$ más rápido.

Ahora a tomar el implícito derivado de la $f'(x)=\frac{-729+30(x+y)^{2}}{2187-30(x+y)^2}$ la segunda vez.

Por el bien de la diferenciación de este rápido nos permite no utilizar el cociente de la regla en vez permite convertir el cociente de la multiplicación de la forma.

$$\left({729+30(x+y)^{2}}\right)\left({2187-30(x+y)^2}\right)^{-1}$$

Ahora, como siempre que se sepa la derivada de la multiplicación y de la cadena de reglas esperemos encontrar la segunda derivada es manejable para usted. Recuerden $\left(f(x)\right)^{'}=f^{''}(x)=f^{2}(x)$. (Las marcas de graduación representa la diferenciación de ciertas partes de la primera derivada.)

(1)$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{'}=\left({729+30(x+y)^{2}}\right)^{'}\left({2187-30(x+y)^2}\right)^{-1}+\left({729+30(x+y)^{2}}\right)\left(\left({\left({2187-30(x+y)^2}\right)^{-1}}\right)^{'}\right)$$ (2)$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{'}=\left({60(x+y)\left((x)^{'}+(y)^{'}\right)}\right)\left({2187-30(x+y)^2}\right)^{-1}-\left({729+30(x+y)^{2}}\right)\left({2187-30(x+y)^2}\right)^{-2}\left(-60(x+y)\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\right)=$$ (3)$$\left(\frac{{dy}^2}{{dx}^2}\right)=\left({60(x+y)\left(1+\frac{dy}{dx}\right)}\right)\left({2187-30(x+y)^2}\right)^{-1}-\left({729+30(x+y)^{2}}\right)\left({2187-30(x+y)^2}\right)^{-2}\left(-60(x+y)\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\right)=$$

(4) Ahora sustituyendo $\frac{dy}{dx}=-1/3$ $x=0,y=0$ $$\left(\frac{{dy}^2}{{dx}^2}\right)=\left({60(0)\left(\frac{2}{3}\right)}\right)\left({2187-30(0)^2}\right)^{-1}-\left({729+30(0)^{2}}\right)\left({2187-30(0)^2}\right)^{-2}\left(-60(0)\left(\frac{2}{3}\right)\right)=$$ (5)$$\left(\frac{{dy}^2}{{dx}^2}\right)=0$$ $$f''(0)=0$$ (P. S. Este es un punto de inflexión)

Answer 2

He aquí una manera de obtener la respuesta rápidamente. Tenemos

$$\tag 1 27f(x) = -9x +(x+f(x))^3.$$

para $x$ cerca de $0.$ Deje $g(x)=(x+f(x))^3.$ $g\in C^\infty(\mathbb R).$ Porque $f(0)=0,$ $f(x) = O(x)$ como $x\to 0.$ por lo tanto $g(x)= O(x^3).$ $C^\infty$ función que es $O(x^3)$ $0$ tiene una fuga de la segunda derivada en $0.$, con Lo que el lado derecho de la $(1)$ es una función cuya segunda derivada es $0.$ Por lo tanto $f''(0)=0.$

Answer 3

SUGERENCIA:

La ecuación implícita $F(x,y) = 0$ está dado por una función impar ( $F(-x,-y) = - F(x,y)$) por $(-x,-y)$ está en el gráfico si $(x,y)$ es. Por lo tanto, la función explícita $y = f(x)$ es impar, por lo que todas las derivadas de orden en$0$$0$.