Supongamos que tenemos una función de $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ $D$ una constante. ¿Cómo podemos resolver la siguiente ecuación para $f$:
$$ \int^{b}_{x_2=a} \int^{b}_{x_1=a} \frac{1}{(f(x_1)+f(x_2))^2}d x_1 d x_2 = D \log(\tfrac{b}{a})$$
donde $0<a<b$.
Gracias.
Supongamos $f$ es solución de la ecuación anterior, el conjunto de $$ F(x_1, x_2) = \frac{1}{(f(x_1)+f(x_2))^2} $$ y $b' > b$. Desde $$ D\log(b'/b) = D\log(b/a) - D\log(b/a) $$ tenemos $$ \int^{b'}_{b} \int^{b'}_{b} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 = \int^{b'}_{a} \int^{b'}_{a} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 - \int^{b}_{a} \int^b_a F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 $$ por lo tanto $$ \int^{b}_{a} \int^{b'}_{b} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 + \int^{b'}_{b} \int^{b}_{a} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 = 0 $$ pero $F(x_1, x_2)$ es no negativo, por lo $F(x_1, x_2) = 0$ en casi todas partes.
No hay solución puede existir.
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