Cómo encontrar la función de $f$ a partir de esta ecuación?

Question

Supongamos que tenemos una función de $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ $D$ una constante. ¿Cómo podemos resolver la siguiente ecuación para $f$:

$$\int^{b}_{x_2=a} \int^{b}_{x_1=a} \frac{1}{(f(x_1)+f(x_2))^2}d x_1 d x_2 = D \log(\tfrac{b}{a})$$

donde $0<a<b$.

Gracias.

Answer 1

Supongamos $f$ es solución de la ecuación anterior, el conjunto de $$F(x_1, x_2) = \frac{1}{(f(x_1)+f(x_2))^2}$$ y $b' > b$. Desde $$D\log(b'/b) = D\log(b/a) - D\log(b/a)$$ tenemos $$\int^{b'}_{b} \int^{b'}_{b} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 = \int^{b'}_{a} \int^{b'}_{a} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 - \int^{b}_{a} \int^b_a F(x_1, x_2) d x_1 d x_2$$ por lo tanto $$\int^{b}_{a} \int^{b'}_{b} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 + \int^{b'}_{b} \int^{b}_{a} F(x_1, x_2) d x_1 d x_2 = 0$$ pero $F(x_1, x_2)$ es no negativo, por lo $F(x_1, x_2) = 0$ en casi todas partes.

No hay solución puede existir.