Triple integral sobre un cono

Question

Así que tengo que evaluar $$\iiint_S \! (y^2+z^2)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z$$ donde $S$ es un cono recto circular de altitud $h$ con su base, de radio $a$, en el $xy$-plano y su eje a lo largo de la $z$-eje, en coordenadas cilíndricas. El cambio a coordenadas cilíndricas, que claramente tienen una $0 \leq \theta \leq 2\pi$$0 \leq z \leq h$. Me imagino una sección transversal del cono como un triángulo rectángulo con $\rho$ desde el origen a la hipotenusa y una línea horizontal a $z$ de intersección $\rho$ a la hipotenusa. A continuación, $\rho=\sqrt{z^2+x^2}$ donde $x$ es la longitud de la línea horizontal. La línea horizontal se forma otro triángulo semejante al primero, y por lo que su longitud debe ser $$\frac{x}{h-z}=\frac{a}{h}$$ $$x=\frac{a(h-z)}{h}$$ así que tengo la desigualdad $$0 \leq \rho \leq \sqrt{\left(\frac{a(h-z)}{h}\right)^2+z^2}$$ pero cuando se trata de evaluar la integral con esta obligado, termina muy mal. Supongo que he hecho algo mal búsqueda de los límites de $\rho$, pero no puedo averiguar qué es lo que yo estaba esperando que alguien podría decirme qué estoy haciendo mal. He intentado hacer otra sustitución que asigna el cono el cono con $h=1$$a=1$, pero que en realidad no ayuda. El libro tiene la respuesta $\frac{1}{60}\pi a^2h(3a^2+2h^2)$, pero me gustaría saber cómo llegar allí. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Por lo general en coordenadas cilíndricas se habrían $r =\sqrt{x^2+y^2}$ (en lugar de lidiar con $\rho$) y que se ve como una buena opción para el problema. Entonces tenemos $$\begin {align}\iiint_S \! (y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz&=\int_0^h\int_0^{a(1-z/h)}\int_0^{2\pi}(r^2\sin^2\theta+z^2)r\;d\theta\;dr\; dz\\ &=\int_0^h\int_0^{a(1-z/h)} \left( \pi r^3+2\pi z^2r\right)\;dr\; dz\\ &=\int_0^h\left. \left(\frac \pi 4 r^4+\pi z^2r^2\right)\right|_0^{a(1-z/h)}\; dz\\ &=\int_0^h \left(\frac \pi 4ha^4(1-\frac zh)^4 +\pi z^2a^2(1-\frac zh)^2\right) \;dz \end {align}$$