Género fórmula para la curva en la superficie

Question

Para una curva suave $C$ sobre una superficie suave, proyectiva de la superficie de $S$$\mathbb{C}$, tenemos el género fórmula:

$g(C) = 1 + \frac12(C^2 + C \cdot K_S)$

donde $K_S$ es el divisor canónico. Es esta fórmula sigue siendo cierto para el singular (por ejemplo, reducible) curvas de $S$ si se utiliza la aritmética de género en el lado izquierdo en lugar de la geometría del género?

Answer 1

Sí, la fórmula sigue siendo cierto si $C\subset S$ es reducido, irreductible, pero no suave.

La aritmética de género es ser definida como $p_a(C)=dim_{\mathbb C}H^1(C,\mathcal O_C)$ y luego tenemos $$p_a(C)= 1+\frac {deg[\mathcal K_S\otimes \mathcal O_S(C))\mid C]}{2} $$

Usted puede encontrar una prueba en el capítulo II de este libro.