¿Cuál es la Idea de una Relación Abierta?

Question

Mi real-análisis de texto, dio la siguiente definición:
Sea U un subconjunto de E. U es abierto relativo a E si
para $\forall t \in U$, $\exists \epsilon$ tal que $N_\epsilon(t) \cap E \subset U$.

Aunque la idea de que U es abierto en $\mathbb R$ sigue la definición,
Yo normalmente no pensamos en la intersección de las $N_\epsilon(t) \cap \mathbb R$.
U es abierto si para $\forall t \in U$, $\exists \epsilon$ tal que $N_\epsilon(t) \subset U$; cada t es un punto interior de la U.
Intuitivamente, cada punto, t, está contenida en una "burbuja".

Así que, ¿cuál es la importancia de la especificación de la intersección?
Al parecer, no puedo pensar de un pariente conjunto abierto en términos como los puntos del interior y "burbujas".

Answer 1

Un pariente conjunto abierto es esencialmente la restricción de un conjunto abierto a un subconjunto. Por ejemplo, abra pone en $\mathbb R$ son tales que cada punto en el conjunto está contenido en un intervalo abierto o "burbuja" como usted dice. Dada esta idea de apertura, ¿cómo podemos definir un subconjunto abierto del intervalo cerrado $[0,1]$? Parece claro que algo como $(\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ debe ser abierta, pero ¿qué acerca de la $[0,\frac{1}{2})$? Este conjunto no es abierto en $\mathbb R$ porque cualquier intervalo abierto alrededor de $0$ contiene un número negativo, que no es en $[0,\frac{1}{2})$. Sin embargo, no hay números negativos en $[0,1]$, por lo que esto no debería impedir este conjunto de abrir relativa a $[0,1]$. Desde el interior de $[0,1]$, $[0,\frac{1}{2})$ se ve como un barrio o de su "burbuja".

Answer 2

Como usted ha dicho, un subconjunto $U$ $\mathbb{R}$ está abierto, si para cada punto de $x$$U$, hay algunos $\epsilon>0$ tal que $N_\epsilon(x) \subset U$, lo que significa que "cada punto de $\mathbb{R}$ que está más cerca de a $x$ $\epsilon$ se encuentra en $U$".

Ahora queremos hablar más en general sobre los subconjuntos de a $E$ donde $E \subset \mathbb{R}$, pero utilizando la misma función de distancia; es decir, manteniendo la misma como sea posible.

Así que tenemos $U \subset E$ y queremos definir lo que significa ser abierta en $E$. La forma más fácil es decir: por cada $x \in U$ hay algo de $\epsilon > 0$ que "cada punto de $E$ que está más cerca de a $x$ $\epsilon$ se encuentra en $U$". La afirmación entre comillas es sólo $E \cap N_\epsilon(x) \subset U$, según el texto de la definición. No tiene sentido considerar puntos que no están en $E$; consideramos $E$ a ser el nuevo "universo de discurso", ya que sólo se hable acerca de sus subconjuntos, ya no se trata de todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$.

Answer 3

La idea es que el subconjunto $E$ $\mathbb{R}$ una topología. Una topología en un conjunto es una colección de subconjuntos de a $\mathcal{T}$ que satisfacen las tres condiciones siguientes:

1. $\emptyset$ $E$ $\mathcal{T}$.

2. $\mathcal{T}$ es cerrado bajo intersecciones finitas (es decir, si $U_1,\ldots U_n$$\mathcal{T}$, entonces también lo es $U_1\cap\cdots\cap U_n$) .

3. $\mathcal{T}$ es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos.

llamar a los elementos de $\mathcal{T}$ abrir conjuntos de $E$. En $\mathbb{R}$ sabes qué conjuntos son abiertos. Cuando usted toma un conjunto junto con una topología (llamado un espacio topológico), se puede determinar lo que significa ser abierto en un espacio que no es algo cómodo como $\mathbb{R}$.

En tu ejemplo, usted está declarando que los subconjuntos de a $E$ están abiertos. De hecho, la topología de que usted está dando a $E$ en este contexto es lo que se llama la topología de subespacio. Usted define lo que significa para un conjunto relativamente abierta en $E$. Un buen ejercicio es mostrar que la colección de selección de subconjuntos de a $E$ satisfacer las propiedades anteriores.

Answer 4

Dado un espacio topológico $(X,\tau_X)$ y un conjunto arbitrario $Y \subseteq X$ queremos dotar a $Y$ con la estructura topológica del espacio mismo. Una cosa natural a hacer es "restringir" la topología $\tau_X$ $X$ a de la topología $\tau_Y$$Y$. Tenemos que asegurarnos de que:

• $Y, \emptyset \in \tau_Y$
• $\forall \mathcal U \subseteq \tau_Y: \ \bigcup \mathcal U \in \tau_Y$
• $\forall U,V \in \tau_Y: \ U \cap Y \in \tau_Y$

Podemos lograr esto mediante la adopción de la "relativa topología" como $\tau_Y$ definido por

$\tau_Y = \{ Y \cap U \in \mathcal P(X) \mid U \in \tau_X \}$.

Es posible que desee comprobar que este hecho le da un espacio topológico $(Y,\tau_Y)$ y que coincide con tu descripción si tomamos $X = \mathbb{R}$$Y = E$. Si usted sabe lo que es un "espacio métrico" es, usted puede ser que desee pensar acerca de este caso en un contexto más general...