La notación $\mathbb{Z}[i]/(p)$ $\mathbb{Z}[i]$ modulo el ideal generado por a $p$, es decir, los múltiplos de $p$ (en los enteros de Gauss).
La expresión de la derecha se supone que ser $\mathbb{Z}_p[x]/(x^2+1)$. Así que primero, $\mathbb{Z}_p$ es de los enteros modulo $p$, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Luego de tomar $\mathbb{Z}_p[x]$, que son los polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$. Por último, se toma el cociente modulo $x^2+1$, lo que significa que dos polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$ son equivalentes si y sólo si su diferencia es un múltiplo de a $x^2+1$ (múltiples en $\mathbb{Z}_p[x]$).
Si conoce el Teorema de Isomorfismo de anillos, entonces la manera más sencilla de hacer esto es construir un anillo de homomorphism cualquiera de $\mathbb{Z}[i]$ $\mathbb{Z}_p[x]/(x^2+1)$que se hacia, y ha kernel igual a la cantidad de $p$; o un anillo homomorphism de $\mathbb{Z}_p[x]/(x^2+1)$ $\mathbb{Z}[i]/(p)$que es a y cuyo núcleo son exactamente los múltiplos de $x^2+1$. El último es, probablemente, más simple.
Si usted no sabe el Teorema de Isomorfismo de anillos, puede intentar definir un homomorphism directamente. Quieres decidir cómo asignar una clase de equivalencia de la forma $a+bi + (p)$ ($a,b\in\mathbb{Z}$) para una clase de equivalencia de la forma $\overline{r}+\overline{s}x + (x^2+1)$ donde $\overline{r}$ $\overline{s}$ son enteros modulo $p$ (usted debe primero probar que todo elemento de a $\mathbb{Z}_p[x]$ es equivalente modulo $x^2+1$ a un polinomio de grado en la mayoría de las $1$; trate de usar el algoritmo de la división). No es una elección obvia: mapa de $a+bi + (p)$ $\overline{a}+\overline{b}x + (x^2+1)$(la razón por la que usted quiere hacer esto es que el $x+(x^2+1)$ satisface $t^2 + 1 = 0$$\mathbb{Z}_p[x]/(x^2+1)$; es decir, es una "raíz cuadrada de $-1$",$i$). Usted tendrá que demostrar que esto es bien definidos, uno-a-uno (en las clases), en, y un anillo de homomorphism.
