En el cálculo de un ejemplo de que el producto tensor

Question

Me gustaría mostrar que $\mathbb{Z}/8 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{\langle 2 \rangle} \cong \mathbb{Z} / 8$.

Si dejamos $S = \mathbb{Z} \setminus \langle 2 \rangle$, $$\mathbb{Z}/8 \otimes_{\mathbb Z} \mathbb{Z}_{\langle 2 \rangle} = \mathbb{Z} /8 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} [S^{-1}] \cong \mathbb{Z}/8 [S^{-1}].$ $

Así que me gustaría mostrar que si $\displaystyle\frac{m}{s} \in \mathbb{Z}/8[S^{-1}]$, entonces hay algo de $y$ tal que $\displaystyle\frac{m}{s} = \frac y 1$, es decir, hay algunos $y \in \mathbb{Z}/8$ tal que $sy = m$. ¿Cómo puedo garantizar que hay un $y$? Cualquier ayuda se agradece.

También es claro para mí que $\mathbb{Z} / 8 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{\langle 2 \rangle} \cong \mathbb{Z}_{\langle 2 \rangle} / \langle 8 \rangle \mathbb{Z}_{\langle 2 \rangle}$, pero no estoy seguro de si esto le ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}[S^{-1}]$ se compone de los racionales que pueden ser escritos con un denominador impar. Tenga en cuenta también que queremos $sm=y$ en $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$; es decir, $sy\equiv m\pmod{8}$.

Si $\frac{m}{s}\in\mathbb{Z}[S^{-1}]$, $s$ es impar; en particular, $s^2\equiv 1\pmod{8}$, así que podemos aprovechar $y=sm$.