Aquí, la integral de dominio es un no-cero anillo de $R$ (no necesariamente conmutativo, y no necesariamente contiene la unidad), en el que $ab=0$ implica $a=0$ o $b=0$.
Pregunta Si $R$ es finita integral de dominio, es necesariamente conmutativo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
rschwieb
Puntos
60669
Las piezas de esta prueba ya están esparcidos por el lugar. Creo que voy ordenado en un solo argumento, aunque.
Un valor distinto de cero finito anillo sin cero cero divisores tiene identidad.
Primero de todos, a la izquierda de la multiplicación por un elemento distinto de cero hace un inyectiva mapa. (Esto está demostrado varias veces a lo largo del sitio, y se deduce fácilmente a partir de la hipótesis.) Desde un inyectiva mapa en un conjunto finito es surjective, podemos solucionar $ax=b$ siempre $a$ es distinto de cero.
Dado un valor distinto de cero $a$, existe una $b$ tal que $ab=a$. A continuación, $a(b-b^2)=0$ implica $b=b^2$.
Para una arbitraria $c$, $(cb-c)b=0$ implica $cb=c$ todos los $c$. Así, el anillo tiene un derecho de identidad. Simétricamente, se ha dejado de identidad, y estos son necesariamente iguales y son las señas de identidad si el anillo.
El surjective intentar argumento dado por encima ahora le permite mostrar el anillo es un anillo de división.
Por último, la parte difícil es mostrar que es conmutativa, un resultado conocido como Wedderburn Poco Teorema. Usted puede encontrar pruebas en línea y en muchos libros. Toma un poco de trabajo que no vale la pena reproducir aquí.
