Producto interno vs rpoducto escalar

Question

Definimos un producto interno similar a un producto escalar:

\begin{align*} \text{scalar product:}& & \vec{a}\cdot\vec{b}&= a_1b_1 + a_2 b_2 + a_3b_3 + \dots\\ \text{inner product:}& & \langle a | b \rangle &= \overline{a_1}b_1 + \overline{a_2}b_2 + \overline{a_3}b_3+\dots \end{align*}

Así que el producto interno está diseñado para trabajar en $\mathbb{C}$ de forma similar a como funciona el producto escalar en $\mathbb{R}$ . Así que la pregunta se refiere a la interpretación geométrica de un producto interior. Para el producto escalar es $|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\varphi}$ que interpretamos como:

Proyección de la norma de un primer vector a un segundo vector multiplicado por la norma de un segundo vector.

Pregunta: ¿Y para un producto interior? ¿Se mantiene la cita anterior?

Algunos antecedentes de mi pregunta: Lo pregunto porque en muchos libros de mecánica cuántica se habla de un vector de estados $\left|\Psi(t)\right\rangle$ que es una abstracción que define el estado de un sistema y sólo es función del tiempo $t$ . Entonces tenemos que definir una base cuyos vectores base y el espacio (hablamos de posición, espacio de momento...) que obtenemos depende de los vectores base que elijamos. Así que si estoy hablando del espacio de posición en 1-D algunos físicos afirman que este producto interno:

$$\left\langle x \right.\left|\Psi(t)\right\rangle$$

es una proyección de un vector de estado $\left| \Psi(t)\right\rangle$ en un normalizado vector base de posición $\left|x\right\rangle$ y podemos interpretarlo como $\Psi(x,t)$ que ahora es una función de posición ¡!

Answer 1

La cita anterior es válida en $\mathbb{C}$ también. Puede que no esté claro lo que significa "proyección" en el concurso de vectores complejos, pero algebraicamente es exactamente igual que con los vectores reales (recuerda el conjugado, eso sí).

En $\mathbb{C}$ el producto "interno" de $a+ib$ y $c+id$ es: $$ ac+ bd +i (ad-bc). $$

En cierto modo, su parte real es la $\mathbb{R}^2$ producto escalar, y su parte imaginaria es una especie de "producto cruzado" (¿ves por qué?). Lo que importa, de todos modos, es que así los módulos al cuadrado se comportan exactamente como en $\mathbb{R}^2$ : $$ \langle(a+ib) | (a+ib)\rangle = a^2 + b^2. $$

Pasando de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{C}^n$ o cualquier otro espacio vectorial complejo, ocurre prácticamente lo mismo: los módulos cuadrados de los vectores son exactamente los mismos que los módulos cuadrados de $\mathbb{R}^{2n}$ vectores, mientras que el producto interno general adquiere una parte imaginaria sesgada. (Esta parte sesgada-simétrica no debe molestarte, porque es imaginario : piense en las matrices hermitianas, que generalizan las matrices simétricas reales añadiendo una parte imaginaria sesgada).

En álgebra lineal, puedes pensar en el producto interno/escalar como algo que puede "darte las coordenadas". (Geómetras, por favor, no os enfadéis conmigo por decir esto: estoy de acuerdo con vosotros, ¡pero esto es lo que hacen en física!)

Por ejemplo, para obtener la primera componente del vector $v=(x,y,z)$ calculamos su producto interior con el elemento base $(0,1,0)$ , obteniendo $v_2=y$ .

Así mismo, una función en la línea real $f:x\mapsto f(x)$ es un vector en un espacio vectorial (se pueden sumar y multiplicar por escalares). Si las funciones son adecuadamente integrables (por ejemplo $L^1$ o $L^2$ ), podemos definir el producto interior de la forma habitual. Ahora, una función tiene como infinito componentes todos sus valores $f(x)$ para todos los $x$ ¡! Así que para conocer el " $x_0$ componente "-th", es decir $f(x_0)$ simplemente tomamos el producto escalar $\langle f | x_0\rangle$ , donde $| x_0\rangle$ es el análogo continuo de $(0,1,0)$ nuestro "elemento base". Se puede pensar en él como un cero en todas partes, y una protuberancia aguda en $x_0$ (mira Delta de Dirac si no sabe lo que es).

En sentido estricto, los elementos de base $|x\rangle$ formulario incorrecto vectores, pero se trata de una historia sutil y completamente diferente (mira el teorema espectral y en Distribuciones de Schwarz para saber más sobre esto).