Encontrar los valores de $x$ $y$ que satisface $\sin(x+y)=\sin x+\sin y$.

Question

Sé que, en general, la siguiente igualdad no se sostiene: $\sin(x+y)=\sin x + \sin y$. Sin embargo, he estado buscando para valores específicos de $x$ $y$ que satisface la ecuación dada. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$\sin(x+y)=\sin x\cos y + \sin y \cos x = \sin x + \sin y$. A continuación, a partir de esta ecuación, tengo

$\sin x(1-\cos y)+\sin y(1-\cos x)=0$. Hay dos posibilidades:

Caso 1: $\sin x(1-\cos y)=0$ $\sin y(1-\cos x)=0$ . La resolución de las ecuaciones para$x$$y$, obtenemos que $x=y=2\pi k$ para algunos entero $k$.

Caso 2: $\sin x(1-\cos y)=n$ $\sin y(1-\cos x)=-n$ donde $n$ es un número real distinto de cero. Entonces tenemos

$\sin x(1-\cos y)=\sin y(\cos x-1)$ Desde $n\neq0$, entonces podemos dividir ambos lados de esta ecuación por $\sin x \sin y)$ obtener $\csc y - \cot y = \cot x - \csc x$. Estoy atascado aquí. Todas las sugerencias y consejos (no respuestas) serán bienvenidas...

Answer 1

el uso que $$\sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$ and $$\sin(x+y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$$

Answer 2

Sabemos que

$$\sin(x+y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$$

y por la suma del producto de la fórmula que hemos

$$\sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

por lo tanto

$$\sin(x+y)=\sin(x)+\sin(y) $$

$$\iff 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

entonces, tenemos que considerar dos casos

$$2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)=0 $$

o de lo contrario puede cancelar $2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)$ y obtener

$$\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)=\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Answer 3

Trate de $$x=y\pm2k\pi$$ and $$x=-y\pm 2k\pi$$

A ver si estas son las únicas soluciones.