Digamos, $F(x) = \sin(x^2)$ que es continua, por lo que existe una $c \in [2,2+h]$ tal que $$ F(c) = \frac{1}{h}\int_{2}^{2+h} F(x)\,dx.$$
Intento calcular el límite cuando $h$ va a cero, que se supone que es $\sin(2)$ pero no lo veo.
¿Podría explicar cómo se calcula el límite?
Sea $g(x)$ una antiderivada de $F(x)$ . Usted tiene $g'(x)=F(x)$ .
Con el teorema fundamental del cálculo : $$\frac{1}{h}\int_{2}^{2+h} F(x)\,dx=\frac{1}{h}[g(2+h)-g(2)]$$
Así que si usted toma el límite cuando $h$ tiende a $0$ reconoces la definición de la derivada de $g$ en $2$ .
$$\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_{2}^{2+h} F(x)\,dx=g'(2)=F(2)$$
L'Hopital no es necesario, pero podría aplicarse. Este límite $\lim_{h\to 0} \frac{\int_2^{2+h} F(x)~dx}{h}$ es de la forma $\lim_{h\to 0} f(h)/g(h)$ donde tanto la parte superior como la inferior tienden a 0 como $h \to 0$ . Pero la solución anterior es mejor y directa... no requiere un teorema tan grande como el de L'Hopital.
Bueno, ya había llegado a la respuesta (¡casi!). Desde $F$ es continua existe un $c$ entre $2$ y $2 + h$ tal que $$F(c) = \frac{1}{h}\int_{2}^{2 + h}F(x)\,dx\tag{1}$$ Ahora como $h \to 0$ podemos ver que $c \to 2$ (porque $c$ se encuentra entre $2$ y $2 + h$ ) y puesto que $F$ es continua $F(c) \to F(2)$ . Por lo tanto, la respuesta deseada es $F(2) = \sin 4$ . No es necesario invocar el resultado más sólido conocido como Teorema Fundamental del Cálculo.
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¿Debería ser $\sin 2$ ?
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Creo que puedes usar L'Hopital.