Una conjetura sobre la función delta: casi cualquier función puede ser un núcleo delta

Question

He estado pensando en los núcleos delta, y creo que he llegado a un resultado sorprendente:

Si $f\colon\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ es tal que $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=L$ es finito y distinto de cero, entonces $g_k(x)=\frac kLf(kx)$ es un núcleo delta.

Nótese que por "núcleo delta" me refiero a una secuencia de funciones integrables $g_k(x)$ tal que para cualquier función absolutamente integrable $h\colon\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ que es continua en $0$ , $\lim_{k\to\infty}\int_{-\infty}^\infty g_k(x)h(x)\,dx=h(0)$ .

Me parece un problema interesante en el que pensar, así que pensé en publicarlo aquí. Publicaré la prueba como respuesta si nadie lo hace (a no ser que se me haya escapado alguna hipótesis extra, en cuyo caso alguien lo señalará, estoy seguro).

Answer 1

Ya existe un teorema que se parece a tu resultado:

Supongamos que $d$ es un no negativo con la propiedad: $$\int_{-\infty}^{+\infty }d(s)\,ds=1$$ Entonces la secuencia $d_k(t):=k\cdot d(kt)$ es una secuencia de Dirac.

Una secuencia de Dirac tiene las propiedades

1. $d_k\geq0,\forall k$
2. $\int_{-\infty}^{+\infty }d_k(s)\,ds=1,\forall k$
3. $\forall r>0$ y $\forall \varepsilon>0,$ existe $N\in\mathbb N$ tal que $\forall k>N$ tenemos $\int_{\mathbb{R}\setminus[-r,r]}d_k(s)\,ds<\varepsilon$

Answer 2

(Nota: $\int f$ se utilizará en todo momento en lugar de $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$ .) Supongamos que $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ es integrable en $\Bbb{R}$ con $\int f=L\ne0$ . Por la definición de la integral $\int_{-\infty}^\infty$ sabemos que los límites unilaterales $\lim_{y\to\infty}\int_0^y f=L_+$ y $\lim_{y\to-\infty}\int_y^0 f=L_-$ existen y $\int f=L_++L_-=L$ . Dejemos que $F$ sea la antiderivada de $f$ es decir $F(y)=\int_0^yf(x)\,dx$ .

Entonces $\lim_{x\to-\infty}F(x)=-K_-$ y $\lim_{x\to\infty}F(x)=K_+$ . Tomando $g_k(x)=\frac kLf(kx)$ tenemos

$$\int_0^yg_k(x)\,dx=\int_0^{ky}\frac 1Lf(x')\,dx'=\frac 1LF(ky).$$

Por el límite, dado un $\varepsilon>0$ podemos encontrar un $M$ tal que $|F(x)-K_+|<|L|\varepsilon$ para todos $x\ge M$ y así para cualquier $y>0$ podemos elegir $k=\lceil M/y\rceil$ para que $ky\ge M$ y por lo tanto

$$\left|\int_0^yg_k(x)\,dx-\frac{K_+}L\right|=\frac1{|L|}\left|F(ky)-K_+\right|<\varepsilon,$$

por lo que la función $G_k(y)=\int_0^yg_k(x)\,dx$ es convergente puntualmente a $G_\infty(y)=\frac{K_+}L$ para $y>0$ . Por consideraciones similares, $G_\infty(y)=-\frac{K_-}L$ para $y<0$ (y $G_\infty(0)=0$ (por si sirve de algo). A estas alturas, debería estar claro que $g_k$ es un núcleo delta (observando que la diferencia entre $\frac{K_+}L$ y $-\frac{K_-}L$ es $1$ ).

Obsérvese, en particular, que en ninguna parte asumimos que $f$ era no negativo, ni siquiera absolutamente convergente.