Las secuencias y de las Sumas

Question

Hay una lista de los números de $a_{1} , a_{2} , …, a_{2010}$ . Para $1 \leq n \leq 2010$ donde $n$ es positiva entero, vamos a $a_1+a_2+ \ldots +a_n = S_n$ . Si $a_1 = 2010$ $S_n = a_nn^2$ para todo n, ¿cuál es el valor de $a_{2010}$ ?

He estado tratando de manipular la fórmula, pero me parece que no puede encontrar una buena relación entre el $a_1$ $a_{2010}$ como $$ a_{2010} = \frac{a_1 +a_2 ... +a_{2010}}{2010^2} $$ Luego trató de utilizar la definición $S_n = a_nn^2 $ una y otra vez pero no puedo encontrar una buena fórmula.

Answer 1

Tenemos

$$S_2=a_2n^2=4a_2=a_1+a_2 \implies a_2=\frac13 a_1=670$$

$$S_3=a_3n^2=9a_3=a_1+a_2+a_3 \implies 8a_3=\frac43 a_1 \implies a_3=\frac16 a_1=335$$

$$S_4=a_4n^2=16a_4=a_1+a_2+a_3+a_4 \implies 15a_4=\frac32 a_1 \implies a_3=\frac1{10} a_1=201$$

a continuación, pretendemos que $$a_n=\frac1{T(n)}a_1=\frac{2}{n(n+1)}a_1$$ a ser demostrado por inducción, que es

$$S_{n+1}=a_{n+1}(n+1)^2=S_n+a_{n+1}=a_nn^2+a_{n+1}\implies a_{n+1}((n+1)^2-1)=\frac{2n^2}{n(n+1)}a_1$$

$$\implies a_{n+1}=\frac{2n^2}{n(n+1)(n^2+2n)}a_1=\frac{2}{(n+1)(n+2)}a_1$$

Answer 2

Empezar desde el hecho de que (por $n>1$) $a_n=S_n-S_{n-1}$. Esto significa $$a_n=a_nn^2-a_{n-1}(n-1)^2.$$ Si utiliza esto para expresar $a_n$ en términos de $a_{n-1}$, y sustituir en la expresión correspondiente para $a_{n-1}$, etc, un patrón que debe emerger.

Answer 3

Desde $a_n=\frac{1}{n^2-1}\sum_{k=1}^{n-1}a_k$, la fuerte inducción de la hipótesis de $a_n=\frac{2a_1}{n(n+1)}$ da $$a_n=\frac{2a_1}{(n-1)(n+1)}\sum_{k=1}^{n-1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{2a_1}{(n-1)(n+1)}(1-\frac{1}{n})=\frac{2a_1}{n(n+1)}.$$With our inductive proof complete, $a_{2010}=\frac{2}{2011}$.

Answer 4

$$S_n = a_n n^2$$ $$a_{n}+S_{n-1}=a_nn^2$$

$$S_{n-1}=a_n(n^2-1)$$

$$a_{n-1}(n-1)^2=a_n(n^2-1)$$

$$a_{n-1}(n-1)=a_n(n+1)$$

$$a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}\frac{n-2}{n}a_{n-2}=\frac{n-1}{n+1}\frac{n-2}{n}\frac{n-3}{n-1}a_{n-3}=\frac{(2)(1)}{(n+1)n}a_1$$

Answer 5

Sugerencia:

$$S_n-S_{n-1}=a_n$$ y $$n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n$$

así que

$$a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}.$$

Entonces

$$a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}\frac{n-2}{n-0}a_{n-2}=\frac{n-1}{n+1}\frac{n-2}{n-0}\frac{n-3}{n-1}a_{n-3}=\frac{n-1}{n+1}\frac{n-2}{n-0}\frac{n-3}{n-1}\frac{n-4}{n-2}a_{n-4}=\cdots$$

Más generalmente, después de la simplificación,

$$a_n=\frac2{n+1}\frac1{n-0}a_1=2\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)a_1$$ y la suma de los telescopios.