Sistemas no lineales en mecánica clásica

Question

1. En general, lo que se entiende por sistema no lineal en la mecánica clásica? ¿Se refiere siempre a las ecuaciones diferenciales con las que se acaba (cualquier ejemplo sería muy apreciado)? Si es así, ¿se considera como no lineal por: ¿Potencias más altas de las variables del sistema? ( $x^2,x^3...$ ), o también cualquier función de $x$ hace que el sistema no sea lineal? como $\cos(x)$ , $\ln(x)$ , $e^x$ etc. Estoy confundido.

2. Además, ¿por qué la mayoría de los sistemas no lineales se consideran no integrables? ¿Se debe al hecho de que tales sistemas suelen considerarse impredecibles incluso de forma clásica? (¿porque no podemos tener soluciones analíticas exactas?).

Answer 1

(1) En general, ¿qué se entiende por sistema no lineal en mecánica clásica?

Un sistema lineal se describe mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales que son una combinación lineal de la variable dependiente y sus derivadas. Algunos ejemplos de sistemas lineales en mecánica clásica:

• Un oscilador armónico amortiguado, $$m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + c \frac{d x(t)}{dt} + k x(t) = 0$$
• La ecuación del calor, $$\frac{\partial u(\vec x, t)}{\partial t} -\alpha \nabla^2 u(\vec x, t) = 0$$
• La ecuación de onda, $$\frac{\partial^2 u(\vec x, t)}{\partial t^2} -c \nabla^2 u(\vec x, t) = 0$$

Los sistemas no lineales no pueden describirse mediante un conjunto lineal de ecuaciones diferenciales. Algunos ejemplos de sistemas no lineales en mecánica clásica:

• Arrastre aerodinámico, donde la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, $$F_d = \frac 1 2 \rho v^2 C_D A$$
• Las ecuaciones de Navier-Stokes, que son notoriamente no lineales, $$\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + \vec v \cdot \vec \nabla v \right) = -\vec \nabla p + \vec \nabla T + \vec f$$
• Sistemas gravitacionales, donde la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los objetos, $$\vec F = -\frac {GMm}{||\vec r||^3}\vec r$$

(2) Además, ¿por qué la mayoría de los sistemas no lineales se consideran no integrables?

El término "no integrable" tiene dos significados muy distintos. Un sentido es que la integral no puede expresarse como una combinación finita de funciones elementales. Las funciones elementales son los polinomios, las raíces racionales, la función exponencial, la función logarítmica y las funciones trigonométricas. Se trata de una división bastante arbitraria. Por ejemplo, las integrales $\operatorname{li}(x) = \int_0^x 1/\ln(t)\,dt$ y $\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \sin(t)/t\,dt$ no pueden expresarse en las funciones elementales. Se trata de las integrales logarítmica y sinusoidal. Estas "funciones especiales" aparecen con tanta frecuencia que se han ideado algoritmos para estimar sus valores. Clasificar las funciones en elementales y no elementales es un poco arbitrario.

Que la solución de un problema no pueda expresarse en funciones elementales no significa que el problema sea irresoluble. Sólo significa que no es solucionable en las funciones elementales. Por ejemplo, la gente suele decir que el problema de los tres cuerpos no es "solucionable". Eso es una tontería (ignorando los casos de colisión). En el sentido de la solubilidad en las funciones elementales, incluso el problema de los dos cuerpos no es "integrable". La ecuación de Kepler, $M = E - e\sin E$ se interpone en el camino. Que el problema de los dos cuerpos no pueda expresarse en términos de una combinación finita de funciones elementales no significa que no podamos resolver el problema de los dos cuerpos.

Hay otro sentido de "integrabilidad", que es "¿existe la integral?" Volviendo al problema de los n cuerpos, existe un problema con las colisiones. Estas colisiones introducen singularidades, por lo que se podría decir que el problema de n cuerpos no es integrable en el caso de las colisiones. Las colisiones representan un tipo de singularidad. Painlevé conjeturó que el problema de los n cuerpos tiene singularidades sin colisiones cuando $n\ge 4$ . Se ha demostrado que esto es cierto cuando $n \ge 5$ . La mecánica newtoniana permite que algunas configuraciones de masas puntuales gravitatorias sean enviadas al infinito en un tiempo finito. Esto es realmente un ejemplo de no-integrabilidad.

Demostrar la integrabilidad (o la falta de ella) en este sentido es un problema mucho más difícil que demostrar que un problema es (o no) resoluble en las funciones elementales. Hay un premio de un millón de dólares para la primera persona que pueda demostrar que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen soluciones suaves definidas globalmente, o que presente un contraejemplo que demuestre que las ecuaciones de Navier-Stokes no son "integrables".

Answer 2

Como pide el OP, reúno mis puntos en una respuesta.

Sistemas lineales Los sistemas lineales son sistemas que son lineales con respecto a una cantidad física . Matemáticamente, su evolución puede escribirse como una ecuación (posiblemente diferencial).

Ejemplos: Un muelle lineal es lineal en el sentido de que produce una fuerza proporcional al desplazamiento que sufre: $F(x)=kx$ (suponiendo que su posición de reposo es 0). Si $x$ se duplica, la fuerza de reacción $F$ también se duplica.

Si ahora se considera una masa en el extremo del muelle, y no se desprecia la inercia, se obtiene otro ejemplo que implica derivadas (dinámica lineal): $$m \ddot x+kx=0$$ Es lineal con respecto a $t\mapsto x(t)$ : cualquier combinación lineal de soluciones es la solución.

Las matemáticas ofrecen una herramienta muy poderosa para estos sistemas. En la dinámica lineal, por ejemplo, es bastante fácil calcular modos de un sistema determinado. Entonces, cualquier movimiento puede descomponerse como una combinación lineal de estos modos. Los cálculos sólo tienen que hacerse para los modos (hay tantos modos como grados de libertad) y entonces se puede calcular cualquier movimiento sin ningún coste computacional.

Sistemas no lineales De nuevo, el sistema es no lineal con respecto a una cantidad física .

En la mecánica del continuo, se puede observar :

• las no linealidades del material (si se duplica la presión el material no duplica las tensiones, por ejemplo); en 1D, un ejemplo podría ser: $$F(x)=kx^2$$ o: $$F(x)=\sqrt{|cos(x)|}$$ Esta última nunca se utiliza/expone porque ningún material obedece a dicha ley. Pero si alguna vez encuentras una, ¡entonces tendrás un sistema no lineal!

En 3D, véase el tensor de deformación frente al tensor de Euler-Lagrange, por ejemplo.

• las no linealidades geométricas (si tiene grandes desplazamientos).
• las no linealidades de contacto: si se duplica la posición $x(t)$ de la pelota rebotando en el suelo, su nuevo movimiento podría penetrar en el suelo (ver "restricciones unilaterales"), lo que obviamente no sería una solución.

En la dinámica no lineal, modos no puede utilizarse como en la dinámica lineal, porque la suma de dos movimientos ya no es un movimiento posible ( es decir una solución de las ecuaciones del sistema).

Por desgracia, las ecuaciones de los sistemas no lineales no suelen poder resolverse de forma analítica. Por suerte, a menudo es posible utilizar métodos numéricos (como los métodos de elementos finitos) para resolver ecuaciones diferenciales no lineales acercándose a la solución exacta, siempre que ésta exista. Esto se utiliza en una amplísima gama de campos de la mecánica: previsión meteorológica, pruebas de choque de automóviles, modelización del combustible de los cohetes, grietas en el hormigón, difusión térmica, acústica, etc.

El inconveniente de resolver las ecuaciones numéricamente es el coste computacional, que no tiene un límite superior (cuanto más precisión se quiera, menor será el paso que se dé). Y para los problemas complejos, los resultados preliminares relevantes pueden tardar semanas...

Nota: los ordenadores sólo resuelven problemas lineales. Los métodos numéricos consisten en dar pequeños pasos lineales de forma que en conjunto se conserve la(s) no linealidad(es).

Answer 3

Un sistema lineal es aquel cuya dinámica obedece a ecuaciones diferenciales lineales, a diferencia de los no lineales cuya dinámica obedece a ecuaciones diferenciales no lineales. Así, si la dinámica de la variable $x(t)$ obedece a una ecuación diferencial $$f\left(x(t),\frac{d}{dt}x(t),\dots,\frac{d^n}{dt^n}x(t),t\right)=0,$$ si $x_1(t)$ y $x_2(t)$ son soluciones diferentes, para un sistema lineal es cierto que $ax_1(t)+bx_2(t)$ con $a$ y $b$ constantes, también será una solución, mientras que no es en general cierto para un sistema no lineal. Por ejemplo, tomemos el oscilador armónico unidimensional, con potencial $V(x)=\dfrac{k}{2}x^2$ : $$mx''(t)+kx(t)=0,$$ es fácil comprobar que la combinación lineal de soluciones es también una solución. Sin embargo, para el potencial anarmónico $V(x)=\dfrac{\lambda}{3}x^3$ la dinámica obedecerá a $$mx''(t)+\lambda x(t)^2=0,$$ y no es cierto que la combinación lineal de dos soluciones dé en general otra solución, ya que $$m(x_1(t)+x_2(t))''+\lambda(x_1(t)+x_2(t))^2=\\ (mx_1''(t)+\lambda x_1(t)^2)+(mx_2''(t)+\lambda x_2(t)^2)+2\lambda x_1(t)x_2(t)=\\ 2\lambda x_1(t)x_2(t)\neq0,$$ en general.

El problema de los sistemas no lineales es que la teoría de las ecuaciones diferenciales no lineales es mucho más difícil y carece de muchos resultados que la teoría lineal, por lo que en general los sistemas pueden no ser integrables dada una ecuación diferencial particular y hay que estudiar cada caso por separado la mayoría de las veces.

Answer 4

Dado que la primera cuestión ha sido suficientemente expuesta, me gustaría hacer una puntualización con respecto a la segunda. Lo primero que hay que entender es que la integrabilidad y la no linealidad de un sistema son dos conceptos diferentes. Es cierto que todos los sistemas lineales en mecánica clásica (es decir, los que se describen mediante sistemas de ecuaciones lineales, ya sean algebraicas o diferenciales) son integrables, pero la integrabilidad no implica linealidad. En el caso típico de un sistema de ecuaciones diferenciales que describe un sistema, la integrabilidad es una condición que requiere la solvencia analítica cuando se han especificado todas las condiciones iniciales y de contorno necesarias (el problema está entonces bien planteado). En los sistemas hamiltonianos clásicos (o en el caso más general de un sistema finito de EDOs), la integrabilidad está especificada por el Teorema de Liouville-Arnold . En todos los sistemas autónomos, el hamiltoniano se convierte automáticamente en una constante de movimiento y, por tanto, en 1 dimensión, todo Los sistemas hamiltonianos son integrables. Ampliando el espacio de fases de la dinámica, se necesitan ahora muchas más integrales de movimiento que especifiquen las isosuperficies sobre las que se produce la dinámica y la intersección de todas estas superficies dará la trayectoria requerida del sistema, una vez fijadas las condiciones iniciales.

La idea de exigir constantes o invariantes de una ecuación es muy amplia y el argumento se aplica también a la mayoría de los demás casos. Para sistemas de dimensiones infinitas (como las EDP, por ejemplo), en principio necesitamos un conjunto infinito de constantes, aunque no es suficiente. La existencia de tales constantes independientes en involución entre sí apunta muchas veces a una simetría o degeneración más profunda en el problema. Tomemos por ejemplo el problema de Kepler, que tiene tres constantes de movimiento
$$ H=\dfrac{\vec{p}^2}{2m}-\dfrac{k}{r}\quad(k>0) $$ Las tres constantes de movimiento en este problema son $H,\vec{L}^2$ y $L_z$ y todos ellos conmutan poisson entre sí. El grupo de simetría dinámica de este problema resulta ser $SO(4)$ (este grupo contiene todas las transformaciones canónicas que preservan la simetría del hamiltoniano). Una constante de movimiento adicional es el vector Laplace-Runge-Lenz $\vec{A}$ , $$ \vec{A}=\vec{p}\times\vec{L}-\dfrac{mk\vec{r}}{r} $$ que también conmuta poisson con las otras constantes $(\{\vec{A},H\}=0,\{\vec{A},\vec{L}\}=0)$ . Son estos dos vectores $(\vec{L}\pm\vec{A})$ modulo factores constantes, que generan el grupo de simetrías dinámicas. El hecho de que $\vec{A}$ es una constante implica que las órbitas en el problema de Kepler no precesan. En el contexto del átomo de hidrógeno, esta misma constancia da lugar a la degeneración de los niveles de energía con $\ell$ (el número cuántico azimutal). La degeneración en $m$ (el número cuántico magnético) es exigido por la simetría esférica del potencial. A partir de esto, vemos que la existencia de constantes de movimiento que permiten que un sistema sea integrable casi siempre apunta a una comprensión más profunda del problema al exponer simetrías o degeneraciones hasta ahora desconocidas en el sistema.

Hay una serie de sistemas no lineales, como la ecuación de KdV, que presentan soluciones de solitones o similares, y este es un campo de investigación muy activo para comprender la existencia de soluciones y la integrabilidad de los sistemas no lineales. Se puede estar bastante seguro de que si una ecuación no lineal es integrable, entonces es definitivamente especial y tiene algunas propiedades subyacentes que permiten resolver la ecuación. Hay un buen escrito sobre algunas de estas cosas en este documento que supongo será útil para dilucidar más detalles con respecto a los sistemas integrables.