Si $a+b=2$ $a\geq b>0$ $a^a(b+1)^2\leq b^b(a+1)^2$

Question

Deje $a+b=2$ donde $a\geq b>0$. Probar que: $$a^a(b+1)^2\leq b^b(a+1)^2$$

Traté de demostrar que $\frac{a^a}{(a+1)^2}\leq\frac{b^b}{(b+1)^2}$, pero sin éxito.

Answer 1

Con $a = 1+x, b = 1-x$ tenemos que demostrar que $$ \frac{(1+x)^{1+x}}{(2+x)^2} \le \frac{(1-x)^{1-x}}{(2-x)^2} \quad \text{para } 0 \le x < 1 \, . $$ Tomando logaritmos esto es equivalente a $$ \etiqueta{*} (1+x)\log(1+x) - (1-x)\log(1-x) - 2 \log(2+x) +2 \log(2-x) \le 0\, . $$ Denota el lado izquierdo con $h(x)$ tenemos $h(0) = 0$ y $$ h'(x) = \log(1+x) + \log(1-x) + 2 - \frac{2}{2+x} - \frac{2}{2-x} \\ = \log(1-x^2) - \frac{2x^2}{4 - x^2} < 0 $$ para $0 < x < 1$, lo que implica que $h$ es estrictamente decreciente. Esto completa la prueba de $(*)$.