Elemental, la geometría diferencial prueba

Question

Dada una función derivable $k(s)$, $s\in I$, mostrar que la parametrización plano de la curva de tener $k(s)=k$ como la curvatura está dada por $$ \alpha (s) = \left( \int \cos\theta(s)ds + a, \int \sin\theta(s)ds + b \right) $$ donde $$ \theta(s)= \int k(s)ds + \varphi $$ and that the curve is determined up to a translation of the vector $(a,b)$ and a rotation of the angle $\varphi$.

Este ejercicio es de Do Carmo Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, la sección 1.5. Mi problema es que ni siquiera estoy seguro de por dónde empezar. No está claro para mí lo que se requiere para este tipo de pruebas. Quiero decir, la prueba se basa en algunos constructivo procedimiento? O la forma habitual es, en cambio, se inicia como " $\alpha$ existen, se debe verificar tal y tal..."

Answer 1

Usted tiene que demostrar dos cosas. En primer lugar, usted tiene que demostrar que la función de $\alpha(s)$ tiene curvatura $k(s)$. Para calcular la curvatura de $\alpha$ y demostrar que resulta ser $k$.

Entonces usted tiene que demostrar que cualquier otra curva con la misma curvatura difiere de $\alpha$ por una traslación y rotación. Una manera de hacer esto es escribir la ecuación diferencial que $\alpha$ debe satisfacer y apelando a la unicidad de las soluciones de segundo orden Odas dadas las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales será la curva del punto de partida y de la velocidad inicial, la cual le dará la traducción y el ángulo.

Answer 2

En este caso, se puede hacer de manera constructiva. (De hecho, es un poco de ambos).

El (firmado) la curvatura de una curva en un punto es el número de satisfacciones (con un punto que denota $d/ds$) $$ \dot{T} = kN, $$ con $T$ el vector tangente $\dot{\alpha}$, y, a continuación, $N$ es la perpendicular a $T$ tomado en la dirección positiva. Para hacer el cálculo, se puede evitar salir de la matriz exponenciales y otras perversiones, trabajando en los números complejos: si $T=(u,v) = u+iv $,$N=(-v,u) = -v+iu =iT$, y la ecuación de lee $$\dot{T}=ikT.$$ Entonces podemos escribir la solución como $$ T = \exp{i\left( \int k(s) \, ds + \varphi \right)}, $$ donde $\varphi$ es una constante de integración determinado por la dirección inicial/argumento de $T$. Utilizando la definición de $\theta$ en la pregunta, tenemos, convirtiendo a la real vectores tomando la parte real e imaginaria, $$ T = (\cos{\theta(s)},\sin{\theta(s)}). $$

A continuación, puede aplicar el teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias para obtener el resultado (es decir, el uso que si $\dot{x}(s)=f(s)$,$x(s)=\int_{s_0}^s f(t) \, dt +x(s_0)$).