Verificación explícita de los signos en el complejo Morse

Question

Estoy intentando comprobar a mano que los signos del complejo de Morse, definidos a través de elecciones de orientaciones en las variedades inestables, conducen a $\partial^2=0$ . Los libros que he consultado parecen decir o bien que esta verificación de signos es fácil (por ejemplo, Audin-Damian), o bien demuestran $\partial^2=0$ introduciendo nociones más sofisticadas como las orientaciones de los haces de líneas determinantes de los operadores de Fredholm (por ejemplo, Schwarz).

¿Existe una buena referencia que explique que las trayectorias rotas en los extremos opuestos de un espacio de módulos unidimensional cuentan con signo contrario?

Esto es lo que he intentado. Supongamos que tenemos puntos críticos $a$ , $b$ , $b'$ y $c$ de los índices $k+1$ , $k$ , $k$ y $k-1$ respectivamente, y las trayectorias rotas $a \rightarrow b \rightarrow c$ y $a \rightarrow b' \rightarrow c$ que se unen por un camino de trayectorias genuinas $a \rightarrow c$ . Podemos ver esto como una incrustación de $[0, 1]^2$ en nuestro múltiple $M$ con $a$ y $c$ en un par de esquinas opuestas y $b$ y $b'$ en el otro, con las trayectorias rotas dadas por los bordes.

Podemos trivializar $TM$ sobre este cuadrado, y después de fijar las orientaciones de las variedades inestables $U_a$ , $U_b$ etc., obtenemos orientaciones inducidas en las variedades estables $S_a$ , $S_b$ etc. El signo de la trayectoria $a \rightarrow b$ proviene de la comparación de las orientaciones de $U_a$ y $S_b$ mientras que la de la trayectoria $b \rightarrow c$ proviene de la comparación de $U_b$ con $S_c$ . Las orientaciones de $S_b$ y $U_b$ están relacionados por la orientación de $M$ . Lo que no veo es cómo juntar esta información.

El fenómeno que me preocupa es el siguiente. Supongamos que $V$ es un espacio vectorial real orientado de dos dimensiones con base $e_1, e_2$ . Entonces los vectores $a=e_2$ y $b=2e_1+e_2$ ambos tienen la misma orientación con respecto a $e_1$ , y de forma similar $c=e_1$ y $d=e_1+2e_2$ ambos tienen la misma orientación con respecto a $e_2$ pero $a, c$ y $b, d$ tienen frente a orientaciones entre sí.

Si pudiera relacionar el espacio tangente de $S_b$ a $S_c$ directamente, digamos, en lugar de sólo en el cociente de $TB$ por $TU_a$ Entonces estaría bien. Intuitivamente esto parece plausible: parece que cerca de la trayectoria $a \rightarrow b$ el espacio tangente $TS_c$ es simplemente abarcada por $TS_b$ junto con el vector normal que apunta hacia el interior del borde del cuadrado. Pero no sé cómo demostrar esto.

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Añadido más tarde: El siguiente ejemplo explica mi confusión. Supongamos que hemos trivializado $TM$ sobre el cuadrado como en el caso anterior, y que $e_1, e_2, f_1, f_2$ sea una base en esta trivialización. Dejemos que el cuadrado esté en el $e_1, e_2$ plano, con $a$ en $(0, 0)$ , $b$ en $(1, 0)$ , $b'$ en $(0, 1)$ y $c$ en $(1, 1)$ . Supongamos ahora que

$TU_a=\langle e_1, e_2, f_2\rangle$

$TS_b=\langle e_1, f_2 \rangle$

$TU_b=\langle e_2, f_2\rangle$

$TS_{b'}=\langle e_2, f_1+2f_2\rangle$

$TU_{b'}=\langle e_1, 2f_1+f_2\rangle$

$TS_c=\langle e_1, e_2, f_1\rangle$

$TU_c=\langle f_2\rangle$

con las bases dadas para los espacios tangentes a las variedades inestables orientadas positivamente. Calculo que las cuatro trayectorias de borde cuentan con signos positivos.

Parece que el problema está relacionado con la discrepancia entre $TS_{b'}$ y $TS_c$ como se menciona en el último párrafo de la versión original de la pregunta.

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Esto se ha convertido en una pregunta aparte, aquí .

Answer 1

Lo que se utiliza es que si se da una secuencia exacta de espacios vectoriales

$$ 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0 $$

orientar dos de ellos cualquiera orienta el tercero. Esto pasa directamente por secuencias exactas de haces vectoriales. Esto se puede utilizar para demostrar que la intersección transversal de un submanifold orientado y un submanifold coorientado está orientado. Con una coorientación me refiero a una orientación del haz normal. Así pues, dejemos que $X$ orientarse y $Y$ estar coorientado en $M$ . Entonces

$$ 0\rightarrow T(X\cap Y)\rightarrow TX\rightarrow NY\rightarrow 0 $$

Aquí utilizamos el hecho de que el haz normal de $Y$ está contenido en el haz tangente de $X$ porque suponemos que la intersección de $X$ y $Y$ es transversal. Ahora bien, si $TX$ está orientado, y $NY$ está orientado, entonces $T(X\cap Y)$ está orientado. Es un ejercicio muy bonito mirar las intersecciones de $\mathbb{R}P^k$ y $\mathbb{R}P^l$ en posición general en $\mathbb{R}P^m$ para varias opciones de $k,m$ y $l$ . La intersección será un $\mathbb{R}P^n$ para algunos $n$ y dependiendo de si $n$ es impar o incluso es orientable o no.

¿Cómo se aplica esto a la teoría de Morse? Las variedades inestables y estables son discos incrustados, y por tanto, contractibles y orientables. Comenzamos con una elección de la orientación del inestable colectores $W^u(x)$ . No es que en $x$ el espacio normal a $T_xW^s(x)$ es exactamente $T_xW^u(x)$ . Esto significa que la elección de la orientación de $T_xW^u(x)$ coorientes $T_xW^s(x)$ . Pero como $W^s(x)$ es contraíble, este cooriente $W^s(x)$ en todas partes. Veamos el espacio de moduli de las órbitas parametrizadas de $x$ a $y$

$$ 0\rightarrow T(W^u(x)\cap W^s(x))\rightarrow TW^u(x)\rightarrow N(W^s(y))\rightarrow 0. $$

Ahora los dos bultos de la derecha están orientados, al igual que el primero. Pero queremos ver el espacio de moduli de las órbitas no parametrizadas. Tenemos que cotejar las órbitas libres $\mathbb{R}$ acción dada por el flujo de gradiente. Tenemos otra secuencia exacta

$$ 0\rightarrow <-\nabla f>\rightarrow T(W^u(x)\cap W^s(y))\rightarrow T(W^u(x)\cap W^s(y)/\mathbb{R})\rightarrow 0 $$

Aquí el primer haz es el haz de líneas en la dirección del flujo del gradiente negativo, y está claramente orientado por el gradiente. Así que obtenemos una orientación del espacio de moduli de las órbitas no parametrizadas, que es lo que queríamos.

Demostrar que el diferencial es igual a cero, teniendo en cuenta las orientaciones, es un poco técnico pero no increíblemente difícil. Recuerdo que esto se hizo en este sentido en un artículo de Joa Weber en las exposiciones. Pero también recuerdo que había un pequeño error de signo...

De todos modos, lo bueno de esta descripción es que nunca utiliza que el colector ambiental sea orientable, y de hecho esto no es necesario. El complejo de Morse también recupera la homología integral de la variedad ambiental, aunque no sea orientable. A menudo se ven discusiones sobre el complejo de Morse asumiendo que la variedad ambiental es orientable, pero esto no es necesario y, de hecho, es confuso. El resultado de la orientación de la colecta ambiental es que la orientación y la coorientación coinciden, utilizando una secuencia exacta

$$ 0\rightarrow TX\rightarrow TM\rightarrow NX\rightarrow 0. $$