El cierre de un conjunto de funciones continuas con extensión de 1 punto compactification es $\mathbb{R}^X$ compactas abierto de la topología.

Question

Deje $X$ ser localmente compacto Hausdorff espacio. Deje $C_0(X) \subset \mathbb{R}^X$ el conjunto de funciones continuas $f: X \to \mathbb{R}$ para las que existe una extensión para el punto de compactification de $X$. ¿Cuál es la forma más fácil de mostrar que $\overline{C_0(X)} = \mathbb{R}^X$ donde $\mathbb{R}^X$ se da el pacto abierto de la topología?

Answer 1

Deje $K_1, \dots, K_n \subset X$ ser compacto subconjuntos, vamos a $V_1, \dots, V_n \subset \mathbb{R}$ ser abierto subconjuntos. Vamos$$U = U_{K_1, V_1} \cap \dots \cap U_{K_n, V_n}$$ be the corresponding basis element for the compact-open topology. The one-point compactification of $X$ is compact Hausdorff space, and hence T4. By Urysohn's lemma, for each $i$, there exists a function$$f_i: X \cup \{\infty\} \to [0, 1]$$ satisfying$$f(x) = 1 \text{ for all }x \in K_i,\text{ }f(x) = 0 \text{ for all }x \in K_1 \cup \dots \cup K_{i-1} \cup K_{i+1} \cup \dots \cup K_n \cup \{\infty\}.$$ For each $V_i$, choose a point $p_i \en V_i$. The linear combination, $$f = \sum_{i=1}^n p_i f_i \in C_0(X) \cap U,$$is a function which extends to the one-point compactification and is an element of $U$. Therefore, $C_0(X)$ is dense in $\mathbb{R}^X$.