Suma y Producto de los Límites

Question

Si tengo una suma o producto cuya parte superior índice es menor que la de su índice inicial, ¿cómo se interpreta? Por ejemplo: $$\sum_{k=2}^0a_k,\qquad \prod_{k=3}^1b_k$$

Quiero decir que son iguales al vacío de la suma y la vacía de producto, respectivamente, pero no sé.

(Esta pregunta surge de la búsqueda de formas abreviadas para denotar algunos anidada de la serie/secuencias, donde la parte superior del índice del interior de la suma/producto es la variable para el exterior suma/producto).

Ejemplo de por qué me preguntaba: $$\sum_{n=0}^\infty\left[\frac{\prod_{k=0}^{n-1}\left(4k-1\right)}{(2n+1)!}\right]$$ Tenga en cuenta que, para el primer caso de $n=0$, el producto se encuentra en una situación como la describo.

Answer 1

Una interpretación común de estos poco ortodoxo suma signos se basa en la observación de que $\sum\limits_{k=i}^{n+1}a_k=a_{n+1}+\sum\limits_{k=i}^{n}a_k$ por cada $n\geqslant i$. La ampliación de este, uno debe esperar (y, de hecho, este es el más ampliamente utilizado de la convención) que $\sum\limits_{k=i}^{i-1}a_k=0$ por cada $i$ y cada secuencia $(a_n)$. Asimismo, $\prod\limits_{k=i}^{i-1}b_k=1$ por cada $i$ y cada secuencia $(b_n)$.

La suma de $\sum\limits_{k=2}^{0}$ va un paso más allá pero la lógica sugeriría que $\sum\limits_{k=2}^{0}a_k=-a_1$, aunque debo confesar que nunca conoció a tales usos.

Asimismo, uno de los probablemente debería considerar la posibilidad de que $\prod\limits_{k=3}^{1}b_k=1/b_2$ por cada valor distinto de cero $b_1$, $b_2$, $b_3$, como puede deducirse a partir de la identidad $\prod\limits_{k=3}^{1}b_k\cdot\prod\limits_{k=2}^{3}b_k=\prod\limits_{k=3}^{3}b_k=b_3$ y del hecho de que $\prod\limits_{k=2}^{3}b_k=b_2b_3$.

Answer 2

Lo que realmente están haciendo con $\sum$ al ve $$ \sum_{k\in\mathcal{A}}a_{k} $$ es la adición de cada elemento en $\mathcal{A}$ a la identidad aditiva $0$. Del mismo modo, cuando usted vea $$ \prod_{k\in\mathcal{A}}a_{k}, $$ se están multiplicando cada elemento de la $\mathcal{A}$ a la identidad multiplicativa $1$.

Nota: la notación con un subíndice $k=a$ y el superíndice $k=b$ es sólo de azúcar para $\mathcal{A}=\left\{a,a+1,\ldots,b\right\}$ siempre $a\geq b$ $\mathcal{A}=\emptyset$ lo contrario.