Rotación óptima para alinear un círculo con puntos externos

Question

Tengo un círculo $C$ con radio $r$ y un conjunto de puntos finitos $P=\left \{ p_1,p_2,\ldots,p_n \right \}$ se identifican fuera del círculo $C$ . Estos puntos pueden estar en el exterior o en el interior o en ambos lados del círculo. Hay otro conjunto de puntos $Q=\left \{ q_1,q_2,\ldots,q_n \right \}$ que se identifica, donde todos los puntos se encuentran en el círculo.

Ahora me gustaría girar el círculo $C$ tal que la suma de los cuadrados de las distancias euclidianas $\sum_i^nd(p_i,q_i)^2$ se minimiza, donde $d(.)$ indica la distancia euclidiana.

Tenga en cuenta que ambos $p_i$ y $q_i$ son coordenadas 2-d en el espacio real. ¿Cuál es el ángulo de rotación óptimo, en sentido horario o antihorario, que minimiza estas sumas de distancias euclidianas?

Answer 1

Tome $C$ centrado en el origen, y que $p_i = (R_i \cos \phi_i, R_i \sin \phi_i)$ y $q_i = (\cos \psi_i, \sin \psi_i)$ . Digamos que giramos el círculo en un ángulo $\theta$ . Entonces se quiere minimizar la suma

$\sum_{i=1}^n (R_i \cos \phi_i - \cos( \psi_i + \theta))^2 + (R_i \sin \phi_i - \sin (\psi_i + \theta))^2$

$= \sum_{i=1}^N R_i^2 + 1 - 2R_i(\cos \phi_i \cos (\psi_i + \theta) + \sin \phi_i \sin(\psi_i + \theta))$

$ = \sum_{i=1}^n R_i^2 + 1 - 2R_i \cos(\theta +\psi_i - \phi_i)$

La suma anterior se minimiza cuando la suma $\sum_{i=1}^n R_i \cos(\theta + \psi_i - \phi_i)$ se maximiza.

Vuelve a escribir la suma $\sum_{i=1}^n R_i \cos(\theta + \psi_i - \phi_i)$ como $A cos(\theta + \delta)$ observando que es una combinación lineal de cosenos con la misma frecuencia $\theta$ pero con diferentes desplazamientos de fase $\psi_i - \phi_i$ . Encuentre $\delta$ de la $\psi_i - \phi_i$ y $R_i$ 's, entonces escoge $\theta$ para maximizar.