Longitud de dispersión es 3d está bien definido. En la literatura, también se puede ver la longitud de dispersión en 2d. ¿Cómo se define? ¿Podemos incluso generalizarla a 1d?
Longitud de dispersión $l_s$ de una partícula que se dispersa en un potencial $\hat{V}(\textbf{x})$ puede definirse en realidad en un $d$ caso de dimensiones, utilizando Funciones de Green formalismo.
El estudio de un problema de dispersión consiste básicamente en resolver la ecuación de Schrödinger (tomando $\hbar=m=1$ ): $$ \left[-\frac{\Delta}{2}+\hat{V}(\textbf{x})\right]|\Psi\rangle=\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle $$ donde la solución general dice : $$ \Psi(\textbf{x},t)=\langle\textbf{x}|\Psi(t)\rangle=\int\mathrm{d}\textbf{x}'\,G(\textbf{x}',\textbf{x},t)\,\Psi(\textbf{x}',0) $$ donde $G(\textbf{x}',\textbf{x},t)=\langle\textbf{x}|e^{-\mathrm{i}tH}|\textbf{x}'\rangle$ es la función de Green asociada a la ecuación. Resolver la ecuación o calcular $G$ es entonces equivalente.
Entonces es posible asociar un operador de Green a dicho $G$ definida simplemente como : $$ \hat{G}(t)=-\mathrm{i}\,\Theta(t)\,e^{-\mathrm{i}t\hat{H}} $$ donde $\Theta(t)$ representa el Función escalonada de Heaviside . El $-\mathrm{i}\,\Theta(t)$ Se ha introducido el término para garantizar causalidad de la solución $\Psi(\textbf{x},t)$ .
La mayoría de las veces, es más conveniente discutir en términos de espectro que de tiempo, por lo que consideraremos la tranformación de Fourier de $\hat{G}(t)$ , que no es otra cosa que el resolvente asociado : $$ \hat{G}(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon-\hat{H}+\mathrm{i}0} $$ Por comodidad, definiremos : $$ \hat{G}_0(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon-\hat{H}_0+\mathrm{i}0}\quad\text{with}\quad\hat{H}_0=-\frac{\Delta}{2}\equiv\frac{k^2}{2} $$ el llamado operador verde libre. Jugando inteligentemente las dos expresiones anteriores, se puede derivar la ecuación de Dyson : $$ \hat{G}=\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G} $$ cuya solución es una expansión de ley de potencia en el potencial $\hat{V}$ : $$ \hat{G}=\hat{G}_0\left[\sum_{n=0}^\infty(\hat{V}\hat{G}_0)^n\right]=\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{\Sigma}\hat{G}_0 $$ donde $\hat{\Sigma}$ es el autoenergía de la partícula.
Tenga en cuenta que el Aproximación de Born consiste aquí en tomar : $$ \hat{G}\simeq\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0 $$ es decir, el primer orden no trivial en la solución de la ecuación de Dyson. Por último, se puede demostrar que la parte imaginaria de la energía propia proporciona la típica tiempo de vida del estado de una partícula bajo el efecto de $\hat{V}(\textbf{x})$ que no es más que el tiempo de dispersión $\tau_s$ , siempre y cuando : $$ -\frac{1}{2\tau_s}=\Im{\langle\textbf{k}|\hat{\Sigma}(\epsilon)|\textbf{k}_i\rangle} $$ con $|\textbf{k}_i\rangle$ es el vector de onda inicial antes del evento de dispersión, y $|\textbf{k}\rangle$ el vector de onda después del evento de dispersión. En el caso bonito cuando la dispersión es elástico es decir $\|\textbf{k}_i\|=\|\textbf{k}\|=k$ la longitud de dispersión se deduce simplemente de $\tau_s$ : $$ l_s=k\tau_s $$ Como se puede ver, la derivación anterior sigue siendo válida para cualquier problema de dimensión. La cuestión principal aquí es calcular $\Im{\langle\textbf{k}|\hat{\Sigma}(\epsilon)|\textbf{k}_i\rangle}$ que es un $d$ dimensión integral y puede ser más o menos compleja según la aproximación que hayas elegido para calcular $\hat{G}$ .
¿Podría comentar la relación entre la longitud de dispersión y la sección transversal de dispersión en $d$ ¿dimensiones? Además, ¿tiene una referencia donde se discuta con más detalle la derivación de la longitud de dispersión a partir de la autoenergía?
Este enfoque aplicado a la dispersión elástica en 2D conduce a divergencias logarítmicas. Esto está relacionado con el hecho de que los desplazamientos de fase elástica al orden más bajo dependen logarítmicamente del número de onda.
@MarkMitchison Si quieres relacionar la aproximación anterior con la sección transversal de dispersión, tendrás que resolver la Ecuación de Lippmann-Schwinger para que puedas saber cómo se ve la función de onda dispersa (puedo hacer una edición sobre este punto si es necesario). Para las fuentes, puedes consultar Scattering Theory of Waves and Particles de Roger & Newton, y Mesoscopic physics of electrons and photons de Akkermans & Montambaux.
Hay que tener cuidado al extender el concepto de longitud de dispersión a dimensiones inferiores. Una extensión directa de la metodología 3D a 2D es propensa a conducir a divergencias logarítmicas. La razón es que en 2D la ecuación radial de Schrödinger para la onda s incluye un potencial centrífugo negativo.
Al definir cuidadosamente la longitud de dispersión como el potencial de cilindro duro que da los mismos desplazamientos de fase de la solución de dispersión de bajo número de onda, se llega a las longitudes de dispersión definidas por Verhaar et al:
Longitud de dispersión y rango efectivo en dos dimensiones: aplicación a átomos de hidrógeno adsorbidos, B J Verhaar, J P H W van den Eijnde, M A J Voermans y M M J Schaffrath J. Physics A, vol. 17 (1984).
Queremos encontrar lo que con la longitud el centro de un paquete de onda entrante apreciar variaciones. El enfoque de la dispersión prefiere hablar de tiempo y momento en detrimento del espacio, pero podemos hablar de espacio después.
El estado de escurrimiento siempre se puede escribir como $$ \psi^{(+)}_g(t)=\int d\alpha\, e^{-iE_\alpha t} g(\alpha) \phi_\alpha + \int d\alpha\,\int d\beta\, \frac{e^{-iE_\alpha t} g(\alpha)T_{\beta \alpha}}{E_\alpha -E_\beta + i\epsilon} \phi_\beta $$
Dónde $g(\alpha)$ representan una superposición adecuada de estados libres $\phi_\alpha$ . Tenga en cuenta que cuando enviamos $ t \rightarrow - \infty $ el estado $\psi^{(\pm)}_g(t)$ se convierte en $\int d\alpha\, e^{-iE_\alpha t} g^{(\pm)}(\alpha) \phi_\alpha$ porque el polo en $\frac{1}{E_\alpha -E_\beta \pm i\epsilon}$ . El término $T_{\beta \alpha}$ es responsable de incluir las interacciones. Si tenemos $H=H_0+V$ entonces $T_{\beta \alpha}=\langle \beta|V|\alpha^{+}\rangle$ , donde $$ |\alpha^{+}\rangle=|\alpha\rangle+\frac{V}{E_\alpha -H_0 \pm i\epsilon}|\alpha^{+}\rangle . $$ Podemos calcular la integral en $\alpha$ en el segundo término por simple análisis de los polos contenidos en $T_{\beta \alpha}$ en función del complejo $\alpha$ . Esto se debe a que podemos deformar la integral para un semicírculo grande en el plano complejo superior o inferior y la integral en este contorno está amortiguada por $\frac{e^{-iE_\alpha t}}{E_\alpha - E_\beta+i\epsilon}$ . A continuación, sólo los polos y cortes de $T_{\beta \alpha}$ en el plano complejo contribuyen a la integral. Para tiempos positivos, en el inferior, para tiempos negativos, en el superior.
El polo más cercano al eje real define la energía y el tiempo típicos de la dispersión.
Para calcular la longitud típica es sencillo tomar el momento y la masa del estado interior y confrontarlo con el tiempo típico. El tiempo típico es el inverso de la distancia del polo en unidades de $\hbar$ . Esta relación de energía y tiempo es el resultado del mecanismo de amortiguación de $\frac{e^{-iE_\alpha t}}{E_\alpha - E_\beta+i\epsilon}$ .
En términos de funciones de Green podemos calcular este polo. Simplemente tomamos la función de Green no perturbada $ G_0(\alpha)= \frac{1}{E_\alpha-H_0 \pm \epsilon}$ y calcular el tiempo de permanencia de una partícula sin perturbar.
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