Paramétrico polinomio solución de una sola ecuación polinómica

Question

Deje $P$ ser un polinomio en $n$ variables con coeficientes racionales, $P \in {\mathbb Q}[Z_1,Z_2, \ldots ,Z_n]$, y considerar la algebraicas conjunto
$Z=\lbrace (z_1,z_2,z_3, \ldots ,z_n) \in {\mathbb Q}^n | \ P(z_1,z_2, \ldots ,z_n)=0 \rbrace$

Si $r$ es no negativo entero, $x_1,x_2, \ldots ,x_r$ son variables, y $Q_1,Q_2, \ldots ,Q_n$ son polinomios en $x_1,x_2, \ldots ,x_r$ tal que $(Q_1(x_1, \ldots ,x_r),Q_2(x_1, \ldots ,x_r),\ldots,Q_n(x_1, \ldots ,x_r)) \in Z$ para todos los $(x_1, \ldots ,x_r) \in {\mathbb Q}^r$, llamamos a $(Q_1,Q_2, \ldots ,Q_n)$ un $r$-dimensiones paramétricas solución de la ecuación de $P(z_1,z_2, \ldots ,z_n)=0$. También es natural para definir un máximo paramétrico de la solución con el mayor número posible de $r$ (para evitar trivialties, también nos imponen que no hay una variable sobre la cual ninguna de las $Q_i$ depende. No estoy seguro que esta última condición evita todos los degenerados de los casos, pero me gustaría evitar las definiciones que involucran avanzada nociones tales como la dimensión de una expresión algebraica la variedad ).

Mi pregunta : es el problema de la computación en la mayor $r$ conocido por ser indecidible en general ? ¿Cuáles son las más general, los casos en los que la geometría algebraica que nos permite calcular el mayor $r$ (y los asociados paramétrica de soluciones) ?

Answer 1

Creo que el problema de decidir si $r=0$ o $r > 0$ relacionados con: (pero un poco más sutil) de Hilbert 10 de problema por $Q(t)$, por lo que ya podría ser indecidible. No he visto una declaración en este sentido, pero yo no soy un experto en undecidability preguntas.

Para las curvas, $r=0$ o $1$ $r=1$ si y sólo si $Z$ tiene género cero y un punto racional y este es decidable.

Para superficies, tal vez usted puede decidir si $r=2$ o no. Es una cuestión de decidir si la superficie es un racional de la superficie. Esto sin duda puede ser hecho a través de una algebraicamente cerrado campo, pero no estoy seguro de lo que sucede en los racionales. Ahora, para decidir si $r=0$ o $1$ en general, usted necesita ser capaz de decidir si la superficie contiene racional curvas y creo que no sabemos cómo hacer que para superficies arbitrarias. A pesar de que sabemos cómo decidir si una superficie fibrado más racional de la curva tiene una sección, la cual sería la situación de Hilbert 10 de problema por $Q(t)$.