¿Cómo demostrar que un espacio topológico es conexo si tiene exactamente dos subconjuntos cerrados?

Question

La pregunta está en el título, la reformularé ligeramente aquí.

Me pregunto cómo demostrar que un espacio topológico $X$ es conexo si y sólo si tiene dos subconjuntos clopen (cerrados y abiertos).

Aparte de escribir las definiciones de conectado, abierto y cerrado, no tengo ni idea de cómo demostrarlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$(\Leftarrow)$ : Considerando el contrapositivo... Sea $X$ sea un espacio topológico desconectado. Es decir, existen subconjuntos abiertos no vacíos $U$ , $V \subset X$ tal que $U \cap V = \emptyset $ y $U \cup V=X$ . Aquí $U$ y $V$ son subconjuntos cerrados de $X$ desde $U^c=V$ y $V^c=U$ .

$(\Rightarrow)$ : Supongamos ahora que $X$ está conectado. Entonces existen dos subconjuntos cerrados de $X$ , a saber $\emptyset$ y $X$ mismo. En este caso, recordemos que $\emptyset$ y $X$ son clopen por definición.

Answer 2

Siempre hay al menos dos subconjuntos abiertos, a saber $\emptyset,X$ . Si hay otro, digamos $U$ entonces $U\neq\emptyset$ y $U\neq X$ .
Consideremos los subconjuntos $U$ y $U^c$ para demostrar que $X$ está desconectado.

Answer 3

Nos gustaría demostrar que $X$ es conexo si los únicos conjuntos en $X$ que son clopen son $\varnothing$ y $X$ .

$\Rightarrow$ : (por contraposición). Supongamos que existe un subconjunto cerrado $A$ de $X$ tal que $A\neq \varnothing$ y $A\neq X$ . Entonces la pareja $(A, A^c)$ forma una separación de $X$ . Así, $X$ no está conectado.

$\Leftarrow$ : (por contraposición). Supongamos que $X$ no está conectado. Entonces existen dos conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos $A$ y $B$ tal que $X=A\cup B$ . Esto implica que $A$ y $B$ se complementan entre sí. Así, $A=B^c$ . Por lo tanto, $A$ está cerrado. Por lo tanto, $A$ es un subconjunto cerrado de $X$ Satisfaciendo a $A\neq \varnothing$ y $A\neq X$ .