Estaba leyendo un texto sobre la probabilidad en el que se afirma:
$$\operatorname{Ex}[C]=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot\Pr[C=i]=\sum_{i=0}^{\infty}\Pr[C>i]$$
Ahora suponiendo que hay un sistema que falla en cada paso con probabilidad $p$ . ¿Cuál es el tiempo esperado hasta el fallo? Lo han calculado utilizando la relación anterior.
Suponiendo que $C$ es la variable aleatoria que es igual al número de pasos hasta que se produce el primer fallo. Así, $\operatorname{Ex}[C]=\sum_{i=0}^{\infty}\Pr[C>i]=\sum_{i=0}^{\infty}(1-p)^i=\frac{1}{p}$ . He podido entender hasta aquí.
Ahora dicen que $\operatorname{Ex}[C|A]=1+\operatorname{Ex}[C]$ donde $A$ es el evento cuando el sistema no falla en el primer paso. Razonaron que el condicionamiento en $A$ equivale a dar un primer paso sin fracasar y volver a empezar sin condicionamientos. No soy capaz de entender cómo funciona este razonamiento. ¿Puede alguien ayudarme?
Además, cuando intento calcular $\operatorname{Ex}[C|A]$ , $\operatorname{Ex}[C|A]=1.\Pr[C=1|A]+2.\Pr[C=2|A]+3.\Pr[C=3|A]\dots$ .
Ahora $\Pr[C=1|A]=0$ como sabemos el sistema no falla en el primer paso. Así, $\operatorname{Ex}[C|A]=0+2.Pr[C=2|A]+3.\Pr[C=3|A]\dots$
Ahora $\Pr[C=i|A]$ para $i>1$ debe ser simplemente $\Pr[C=i]$ ya que si el sistema no falla en el primer paso, la probabilidad de fallar en el paso $i$ sigue siendo $p$ . Así, $\operatorname{Ex}[C|A]=0+2.\Pr[C=2]+3.\Pr[C=3]\dots$ que es igual a $\operatorname{Ex}[C]-1.\Pr[C=1]=\operatorname{Ex}[C]-p$ . ¿Alguien puede decirme en qué me equivoco?
