Holomorphic función en la unidad de disco $f$, mostrar el conjunto de $z,w\in \mathbb{C}$ tal que $f(z)=f(w)$ no contables

Question

Aquí está la declaración del problema:

Supongamos $f$ es un holomorphic función en la unidad de disco. Mostrar que el conjunto de $A=\lbrace (z,w) \in \mathbb{C}^2\;|\; |z|,|w| \leq \frac{1}{2}, z\neq w, f(z)=f(w)\rbrace$ es finito o uncountably infinito.

Estoy bastante atascado, pero aquí están algunas ideas:

1. El límite en el $z,w$ es un ltitle impar. La única cosa que me llevo de ella es que el $|z+w| \leq |z| + |w| = 1$, por lo que la suma de las estadías en el cierre de la disco. Pero esto no parece relevante.

2. Traté de encontrar una forma inteligente de utilizar el principio de identidad, pero no pude. Por ejemplo, supongamos lo contrario el conjunto $A$ es countably infinito, entonces no tiene sentido considerar la función de $g(z) = f(z) - f(w_0)$ algunos $w_0 \in A$ ya que no hay necesidad de ser countably muchos $z_0$ coincidente con $w_0$, en el sentido de $f(z_n) = f(w_0)$, sólo countably muchos pares de $z,w$ con las mismas imágenes.

3. Traté de representación de $f(z)$ poder de una serie centrada en $z_0=0$: $$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n $$ y, a continuación, considerando expresiones como $$ f(z_0) - f(w_0) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z_0^n - w_0^n) $$ para aprender algo acerca de los coeficientes, pero no llevan a ninguna parte.

Creo que debe haber alguna mancha de la solución, pero no lo veo, así que prefiero sugerencias en lugar de soluciones completas ahora.

Answer 1

Creo que puede tener una prueba de que los usos conocidos los resultados acerca de holomorphic funciones de varias variables complejas y la Categoría de Baire Teorema.

En primer lugar, recordemos que los ceros de holomorphic funciones de más de una variable no son aislados. Esto es una consecuencia de un conocido teorema, debido a Hartogs. Ahora, supongamos que el $A$ es contable, decir $A=\{(z_1,w_1),(z_2,w_2),\dots\}$. El conjunto $$S:=\{(z,w) : |z|,|w| \leq 1/2 : f(z)=f(w)\}$$ es cerrado, y hemos $$S= \{(z,z):|z| \leq 1/2\} \cup \{(z_1,w_1)\} \cup \{(z_2,w_2)\} \cup \dots.$$ Por la Categoría de Baire Teorema, uno de los conjuntos de la unión tiene la no-vacío interior. Claramente no puede ser la diagonal, y así tenemos que uno de los puntos de $(z_j,w_j)$ es aislado en $S$. Pero este punto sería un hecho aislado cero de la holomorphic función de $g(z,w):=f(z)-f(w)$, lo cual es una contradicción.

Answer 2

He aquí una solución que me fue apuntado por un estudiante:

El reclamo es que el conjunto es vacío o incontable, de hecho. Asumir que hay uno de esos par $(z,w) \in A$ tal que $f(z) = f(w)$. Pero desde $\mathbb{C}$ es Hausdorff, podemos separar cada punto por un conjunto abierto tal que al abrir los conjuntos son disjuntos: $z\in U, w\in V, U\cap V = \varnothing$.

Pero por la asignación abierta teorema de la imagen contiene una bola alrededor de $f(z)=f(w)$, que está contenida en $f(U) \cap f(V)$. Es decir, $f(U)$ está abierto, $f(V)$ es abierto y tienen un trivial intersección que debe ser abierto y por lo tanto contiene una bola de $B$ que contiene $f(z)=f(w)$.

Ahora pasamos a buscar algún otro punto de $f(z) \neq \alpha \in B$. A continuación, $f^{-1}(\alpha) \supset \lbrace z_0 \neq z\in U, w_0 \neq w \in V \rbrace$ donde $f(z_0) = f(w_0)$. Por lo tanto, $f^{-1}(B) \subset A$ donde $f^{-1}(B)$ es incontable.

Por lo tanto, si hay un punto en $A$, hay una cantidad no numerable de puntos en $A$.