Valores propios de la matriz de compañía de $4x^3 - 3x^2 + 9x - 1$

Question

Quiero encontrar todas las raíces de un polinomio y he decidido calcular los valores propios de su matriz acompañante. ¿Cómo lo hago?

Por ejemplo, si tengo este polinomio $4x^3 - 3x^2 + 9x - 1$ calculo la matriz de acompañamiento:

$$\begin{bmatrix} 0&0&\frac{3}{4} \\ 1&0&-\frac{9}{4} \\ 0&1&\frac{1}{4} \end{bmatrix}$$

Ahora, ¿cómo puedo encontrar los valores propios de esta matriz? Gracias de antemano.

Answer 1

Hola, así que si estoy asumiendo correctamente para su caso, usted quiere encontrar los valores propios de esta matriz, que es esencialmente la solución de sus raíces del polinomio característico de la matriz después de hacer la operación determinante en él. Así que para salir de la idea de Robert, queremos utilizar la ecuación,

det( A $-\lambda$ I ) = $0$ $~~~$ (a partir de aquí podemos introducir la matriz de coeficientes dada).

det( A $-\lambda$ I ) = $\left[\begin{array}{ccc} 0-\lambda & 0 & \dfrac{3}{4} \\ 1 & 0-\lambda & -\dfrac{9}{4} \\ 0 & 1 & \dfrac{1}{4}-\lambda \end{array} \right] = 0$ , donde A es su matriz de coeficientes y I es la matriz de identidad.

I \= $\left[\begin{array}{ccr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$

A partir de aquí podemos averiguar los valores propios de la matriz A de la siguiente manera:

$\underline {\text{Evaluation of the determinant expanding it by the minors of column 1:}}$

\= $~-\lambda \left[\begin{array}{cc} -\lambda & -\dfrac{9}{4} \\ 1 & \dfrac{1}{4}-\lambda \end{array} \right] -1 \left[\begin{array}{cc} 0 & \dfrac{3}{4} \\ 1 & \dfrac{1}{4}-\lambda \end{array} \right] + 0 \left[\begin{array}{rr} 0 & \dfrac{3}{4} \\ -\lambda & -\dfrac{9}{4} \end{array} \right] $

$\Rightarrow ~ -\lambda \left[\begin{array}{c} \lambda^{2} -\dfrac{1}{4}\lambda + \dfrac{9}{4} \\ \end{array} \right] -1 \left[\begin{array}{cc} 0 -\dfrac{3}{4} \\ \end{array} \right] + ~0 \left[\begin{array}{rr} 0 + \dfrac{3}{4}\lambda \\ \end{array} \right] $

$\Rightarrow ~$ $-\lambda^3+\dfrac{1}{4}\lambda^2-\dfrac{9}{4}\lambda+\dfrac{3}{4}$ , $~$ Por lo tanto, ahora se obtiene nuestro polinomio característico.

$$P(\lambda)=-\lambda^3+\dfrac{1}{4}\lambda^2-\dfrac{9}{4}\lambda+\dfrac{3}{4}$$

Si necesitas ayuda sobre cómo encontrar el polinomio característico evaluando el determinante, aquí tienes una referencia: Determinantes informáticos \

Después de resolver este polinomio para sus raíces (valores propios) obtenemos lo siguiente:

{ $\lambda = (0.329,0.000) ~~ \lambda = (-0.040,-1.508) ~~ \lambda = (-0.040,1.508)$ }

Creo que todas las raíces, excepto $\lambda = 0.329$ son raíces complejas conjugadas. ¿Puede alguien más verificar que esas son todas las raíces de este polinomio y que las que he proporcionado son correctas? Espero que esto ayude si esta explicación es lo que estabas buscando.

Answer 2

Normalmente, se utiliza el Algoritmo QR en una matriz con una reducción preliminar a la forma superior de Hessenberg (todos los ceros por debajo de la subdiagonal) para determinar los valores propios. Sin embargo, como la matriz compañera de Frobenius ya es de Hessenberg para empezar, puede introducirse fácilmente en una rutina de valores propios sin transformación preliminar (aunque un equilibrar puede ser necesario si los coeficientes del polinomio varían mucho en magnitud).

Sin embargo, es un algoritmo bastante derrochador: la matriz compañera de Frobenius es escasa, y someterla al algoritmo QR hace que los ceros por encima de la subdiagonal se rellenen rápidamente. Sin embargo, ahora hay nuevos métodos que explotan la escasez de la matriz compañera de Frobenius; si estás seguro de que no quieres investigar otros métodos debería investigar este nuevo desarrollo.

Answer 3

Puede que quiera echar un vistazo a Matriz de acompañamiento para asegurarse de que tiene la matriz de acompañamiento adecuada.

Para encontrar los valores propios de una matriz cuadrada, hay que resolver

$\text{det}(A-\lambda I)=0$

donde A es la matriz que te interesa e I es la matriz identidad.

Puede encontrar un par de ejemplos aquí .