Demostrar que .

Question

Una función$f:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ es continua en$[a,b]$ y$f''(x)$ existe$\forall x\in (a,b)$. Si$a<c<b$ y$f(a)=f(b)=0$, compruebe que existe un punto$\xi$ en$(a,b)$ tal que$f(c)=\frac12(c-a)(c-b)f''(\xi)$

Mi intento: usar el teorema del valor medio de Lagrange en$f$ en$[a,c]$ y$[c,b]$,$\exists \xi_1 \in (a,c)$ y$\exists \xi_2 \in (c,b)$ tal que$f'(\xi_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=\frac{f(c)}{c-a}$ y$f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=\frac{-f(c)}{b-c}$

Aquí es donde estoy atrapado. Intenté aplicar MVT de nuevo, pero no me llevó a ningún lado. Intenté usar el teorema de Rolle o el teorema de Darboux, pero solo me dio un$f''(\xi_n)=0$. ¿Alguien por favor me puede decir qué hacer a continuación?

Answer 1

Considere la función:$\displaystyle g(t) = f(t) - \frac{(t-a)(t-b)}{(c-a)(c-b)}f(c)$, tenemos$g(a) = g(b) = g(c) = 0$.

Por lo tanto, aplique el teorema de Rolle en$g$ en los intervalos$[a,c]$ y$[c,b]$, para concluir que hay$\xi_1 \in (a,c)$ y$\xi_2 \in (c,b)$, tal que$g'(\xi_1) = g'(\xi_2) = 0$.

Como,$\xi_1 \neq \xi_2$, podemos aplicar nuevamente el Teorema de Rolle en$g'$ en$[\xi_1 ,\xi_2]$, para concluir que hay$\xi \in (\xi_1 ,\xi_2)$, tal que$\displaystyle g''(\xi) = f''(\xi) - 2\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)} = 0$.