Ley de los grandes números para variables aleatorias Bernoulli no idénticamente distribuidas

Question

Sea $(X_n)$ sea una sucesión de v.r. independientes, tales que $X_n$ ~ $Bern(p_n)$ . Sé entonces que $\lim_{n \to \infty}p_n=p$ y $p_n>p>0$ para cada $n \in \mathbb{N}$ . Tengo que demostrar que

$\dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n} \rightarrow p$

casi seguro.

Intuitivamente, por la ley de los grandes números, diría que es cierto. El problema es que la sucesión $p_n$ no es constante, por lo que no sé cómo concluir de manera formal.

Gracias a quien me resuelva la duda.

Answer 1

Esta respuesta se basa en un argumento de acoplamiento, que hace riguroso el comentario de LJG en la respuesta de Davide Giraudo. Supondremos la (habitual) ley fuerte de los grandes números para secuencias i.i.d., pero nada más.

A saber $X_n$ sean variables aleatorias independientes con $X_n \sim Bern(p_n)$ donde $p_n \downarrow p$ . Definir una secuencia $Y_n$ de i.i.d. Bernoulli( $p$ ) como sigue. Si $X_n=0$ , dejemos que $Y_n=0$ . Si $X_n=1$ lanza una moneda (independiente e injusta), cuya probabilidad de cara es $1-p/p_n$ . Si son cabezas, que $Y_n=0$ . Si las colas dejan $Y_n=1$ . Claramente $Y_n \leq X_n$ para todos $n$ y el $Y_n$ son i.i.d. Bern( $p$ ). Por la ley fuerte de los grandes números $$\liminf_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \geq \liminf_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n Y_k =p, \;\;\;\;\;\;\;a.s.$$

Ahora dejemos que $q>p$ . Para un tamaño $n$ tenemos que $p_n<q$ . Dado que el límite de las medias de Cesaro no depende de la omisión de un número finito de términos, podemos suponer wlog que $p_n<q$ para todos $n$ . Definimos ahora una secuencia $Z_n$ de i.i.d. Bernoulli( $q$ ) como sigue. Si $X_n=1$ , dejemos que $Z_n=1$ . Si $X_n=0$ lanza una moneda (independiente e injusta), cuya probabilidad de cara es $(q-p_n)/(1-p_n)$ . Si son cabezas, que $Z_n=1$ . Si las colas dejan $Z_n=0$ . Claramente $Z_n \geq X_n$ para todos $n$ y el $Z_n$ son i.i.d. Bern( $q$ ). Por la ley fuerte de los grandes números, $$\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \leq \limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n Z_k =q, \;\;\;\;\;\;\;a.s.$$ Pero como $q>p$ era arbitraria, concluimos (después de tomar la intersección sobre contablemente muchos $q$ que convergen en $p$ ) que $$\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \leq p, \;\;\;\;a.s.$$ que da el resultado.

Answer 2

Esta respuesta se utiliza la siguiente instrucción

Deje $(Y_i)_{i \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de variables aleatorias independientes. Si $\sum_{i=0}^n Y_i$ converge en probabilidad, a continuación, $\sum_{i=0}^n Y_i$ converge casi seguramente.

Sugerencias:

1. Set $T_n := \sum_{i=1}^n (X_i-p_i)/i$. El uso de la independencia de las variables aleatorias $X_i$ a mostrar que $$\mathbb{E}((T_n-T_m)^2) \leq 4 \sum_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2}$$ for all $n \geq m$. Conclude that the limit $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_i-p_i}{i} := \lim_{n \to \infty} T_n$$ exists in $L^2$ y, por lo tanto, en la probabilidad.
2. Deducir a partir del Paso 1 que $\sum_{i=1}^{n} (X_i-p_i)/i$ converge casi seguramente como $n \to \infty$.
3. Aplicar el lema de Kronecker a la conclusión de que la $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-p_i)=0$$, casi con toda seguridad.

Comentario: Utilizando el anterior razonamiento es realmente posible para mostrar el siguiente más general resultado que se conoce como "test de Kolmogorov fuerte de la ley"

Deje $(X_i)_{i \in \mathbb{N}} \subseteq L^2(\mathbb{P})$ ser una secuencia de variables aleatorias independientes. Si $$\sum_{i \geq 1} \frac{\text{var} \, (X_i)}{i^2} < \infty$$ then $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mathbb{E}(X_i))=0 \quad \text{almost surely.}$$

Answer 3

Sea $S_n:=\sum_{i=1}^n\left(X_i-p_i\right) $ . Utilice Desigualdad de Kolmogorov para obtener un buen $$\mathbb P\left\{\max_{1\leqslant n\leqslant 2^N}\left\lvert S_n\right\rvert \gt 2^N\varepsilon \right\}.$$ A continuación, utilice el lema de Borel-Cantelli para obtener que $S_n/n\to 0$ casi seguro.