Esta respuesta se basa en un argumento de acoplamiento, que hace riguroso el comentario de LJG en la respuesta de Davide Giraudo. Supondremos la (habitual) ley fuerte de los grandes números para secuencias i.i.d., pero nada más.
A saber $X_n$ sean variables aleatorias independientes con $X_n \sim Bern(p_n)$ donde $p_n \downarrow p$ . Definir una secuencia $Y_n$ de i.i.d. Bernoulli( $p$ ) como sigue. Si $X_n=0$ , dejemos que $Y_n=0$ . Si $X_n=1$ lanza una moneda (independiente e injusta), cuya probabilidad de cara es $1-p/p_n$ . Si son cabezas, que $Y_n=0$ . Si las colas dejan $Y_n=1$ . Claramente $Y_n \leq X_n$ para todos $n$ y el $Y_n$ son i.i.d. Bern( $p$ ). Por la ley fuerte de los grandes números $$\liminf_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \geq \liminf_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n Y_k =p, \;\;\;\;\;\;\;a.s.$$
Ahora dejemos que $q>p$ . Para un tamaño $n$ tenemos que $p_n<q$ . Dado que el límite de las medias de Cesaro no depende de la omisión de un número finito de términos, podemos suponer wlog que $p_n<q$ para todos $n$ . Definimos ahora una secuencia $Z_n$ de i.i.d. Bernoulli( $q$ ) como sigue. Si $X_n=1$ , dejemos que $Z_n=1$ . Si $X_n=0$ lanza una moneda (independiente e injusta), cuya probabilidad de cara es $(q-p_n)/(1-p_n)$ . Si son cabezas, que $Z_n=1$ . Si las colas dejan $Z_n=0$ . Claramente $Z_n \geq X_n$ para todos $n$ y el $Z_n$ son i.i.d. Bern( $q$ ). Por la ley fuerte de los grandes números, $$\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \leq \limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n Z_k =q, \;\;\;\;\;\;\;a.s.$$ Pero como $q>p$ era arbitraria, concluimos (después de tomar la intersección sobre contablemente muchos $q$ que convergen en $p$ ) que $$\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \leq p, \;\;\;\;a.s.$$ que da el resultado.
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Si se conoce la ley fuerte de Kolmogorov, la afirmación es una consecuencia directa de este resultado.
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¿No tenemos que suponer que ambos $p_n$ y $p$ también debe estar acotado lejos de 1?