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Ley de los grandes números para variables aleatorias Bernoulli no idénticamente distribuidas

Sea $(X_n)$ sea una sucesión de v.r. independientes, tales que $X_n$ ~ $Bern(p_n)$ . Sé entonces que $\lim_{n \to \infty}p_n=p$ y $p_n>p>0$ para cada $n \in \mathbb{N}$ . Tengo que demostrar que

$\dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n} \rightarrow p$

casi seguro.

Intuitivamente, por la ley de los grandes números, diría que es cierto. El problema es que la sucesión $p_n$ no es constante, por lo que no sé cómo concluir de manera formal.

Gracias a quien me resuelva la duda.

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Si se conoce la ley fuerte de Kolmogorov, la afirmación es una consecuencia directa de este resultado.

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¿No tenemos que suponer que ambos $p_n$ y $p$ también debe estar acotado lejos de 1?

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Shalop Puntos 4722

Esta respuesta se basa en un argumento de acoplamiento, que hace riguroso el comentario de LJG en la respuesta de Davide Giraudo. Supondremos la (habitual) ley fuerte de los grandes números para secuencias i.i.d., pero nada más.

A saber $X_n$ sean variables aleatorias independientes con $X_n \sim Bern(p_n)$ donde $p_n \downarrow p$ . Definir una secuencia $Y_n$ de i.i.d. Bernoulli( $p$ ) como sigue. Si $X_n=0$ , dejemos que $Y_n=0$ . Si $X_n=1$ lanza una moneda (independiente e injusta), cuya probabilidad de cara es $1-p/p_n$ . Si son cabezas, que $Y_n=0$ . Si las colas dejan $Y_n=1$ . Claramente $Y_n \leq X_n$ para todos $n$ y el $Y_n$ son i.i.d. Bern( $p$ ). Por la ley fuerte de los grandes números $$\liminf_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \geq \liminf_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n Y_k =p, \;\;\;\;\;\;\;a.s.$$

Ahora dejemos que $q>p$ . Para un tamaño $n$ tenemos que $p_n<q$ . Dado que el límite de las medias de Cesaro no depende de la omisión de un número finito de términos, podemos suponer wlog que $p_n<q$ para todos $n$ . Definimos ahora una secuencia $Z_n$ de i.i.d. Bernoulli( $q$ ) como sigue. Si $X_n=1$ , dejemos que $Z_n=1$ . Si $X_n=0$ lanza una moneda (independiente e injusta), cuya probabilidad de cara es $(q-p_n)/(1-p_n)$ . Si son cabezas, que $Z_n=1$ . Si las colas dejan $Z_n=0$ . Claramente $Z_n \geq X_n$ para todos $n$ y el $Z_n$ son i.i.d. Bern( $q$ ). Por la ley fuerte de los grandes números, $$\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \leq \limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n Z_k =q, \;\;\;\;\;\;\;a.s.$$ Pero como $q>p$ era arbitraria, concluimos (después de tomar la intersección sobre contablemente muchos $q$ que convergen en $p$ ) que $$\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_1^n X_k \leq p, \;\;\;\;a.s.$$ que da el resultado.

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Muy bonito. Esto es lo que quería decir con mi comentario a la respuesta de Davide Giraudo. Aunque preferiría escribir ese wlog $X_n = \mathbf1_{U_n<p_n}$ donde $U_1,U_2,\dots$ son uniformes independientes $U[0,1]$ variables aleatorias. Y luego definir $Y_n = \mathbf1_{U_n<p}$ , $Z_n = \mathbf1_{U_n<q}$ . Esencialmente es lo mismo que escribiste, pero de esta manera uno no tiene que lanzar una moneda adicional y calcular esas probabilidades. De todos modos, +1 de mi parte.

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Tienes razón... ¡hubiera sido más agradable de leer!

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¿Qué ocurre si la secuencia ${p_n}$ no converge a $p$ ? Es decir, cada $X_n$ se extrae de una distribución diferente. Me parece que en este caso la LLN no se cumple. ¿Es cierto?

4voto

user36150 Puntos 8

Esta respuesta se utiliza la siguiente instrucción

Deje $(Y_i)_{i \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de variables aleatorias independientes. Si $\sum_{i=0}^n Y_i$ converge en probabilidad, a continuación, $\sum_{i=0}^n Y_i$ converge casi seguramente.

Sugerencias:

  1. Set $T_n := \sum_{i=1}^n (X_i-p_i)/i$. El uso de la independencia de las variables aleatorias $X_i$ a mostrar que $$\mathbb{E}((T_n-T_m)^2) \leq 4 \sum_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2}$$ for all $n \geq m$. Conclude that the limit $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_i-p_i}{i} := \lim_{n \to \infty} T_n$$ exists in $L^2$ y, por lo tanto, en la probabilidad.
  2. Deducir a partir del Paso 1 que $\sum_{i=1}^{n} (X_i-p_i)/i$ converge casi seguramente como $n \to \infty$.
  3. Aplicar el lema de Kronecker a la conclusión de que la $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-p_i)=0$$, casi con toda seguridad.

Comentario: Utilizando el anterior razonamiento es realmente posible para mostrar el siguiente más general resultado que se conoce como "test de Kolmogorov fuerte de la ley"

Deje $(X_i)_{i \in \mathbb{N}} \subseteq L^2(\mathbb{P})$ ser una secuencia de variables aleatorias independientes. Si $$\sum_{i \geq 1} \frac{\text{var} \, (X_i)}{i^2} < \infty$$ then $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mathbb{E}(X_i))=0 \quad \text{almost surely.}$$

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Estás aplicando una versión de la ley de los grandes números para variables aleatorias no idénticamente distribuidas. Supongo que especificar los detalles de este resultado sería útil para el OP.

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@Did Bueno, sí, tienes razón ... He reescrito mi respuesta.

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Vale la pena mencionar que usted demuestra un resultado más fuerte asumiendo sólo la convergencia de Cesaro $(p_1+\dots+p_n)/n\to p, n\to\infty$ .

1voto

Davide Giraudo Puntos 95813

Sea $S_n:=\sum_{i=1}^n\left(X_i-p_i\right) $ . Utilice Desigualdad de Kolmogorov para obtener un buen $$\mathbb P\left\{\max_{1\leqslant n\leqslant 2^N}\left\lvert S_n\right\rvert \gt 2^N\varepsilon \right\}.$$ A continuación, utilice el lema de Borel-Cantelli para obtener que $S_n/n\to 0$ casi seguro.

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Nunca hemos estudiado la desigualdad de Kolmogorov. Sin embargo, he intentado desarrollar su idea, pero no entiendo cómo puede concluir utilizando el lema de Borel-Cantelli.

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La suma sobre $N$ de la expresión en la expresión de visualización es finito.

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@LJG Dado que no nos has proporcionado ninguna información sobre tu formación, es bastante difícil escribir una respuesta que no utilice resultados que no hayas estudiado. ¿Cómo vamos a saber lo que ya has estudiado?

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