Triángulo $ABC$ es isósceles ($CA=CB$). $BD$ es la bisectriz de un ángulo de $\angle B$. Hallar los ángulos del triángulo $ABC$ si $BD+DC=AB$.
En realidad, tengo una solución, pero no me gusta demasiado:
Si se aplica la ley de los senos para $\triangle BCD$, se obtiene:
$$\frac{x}{\sin\alpha}=\frac{a-x}{\sin(180^\circ-4\alpha)}\tag{1}$$
Lo mismo para $\triangle ABD$:
$$\frac{a-x}{\sin2\alpha}=\frac{a}{\sin(180^\circ-3\alpha)}\tag{2}$$
La eliminación de $x$ es fácil, pero puede simplificar la ecuación resultante. Después de una hora he conseguido algo que parecía un buen punto de partida:
$$2\cos2\alpha(\sin3\alpha-\sin2\alpha)=\sin\alpha\tag{3}$$
Pero casi me dio hasta aquí, porque si intenta expandir varios ángulos como elementos de la $\cos2\alpha$ o $\sin3\alpha$, se obtiene un desagradable ecuación que no puede ser resuelto. Sin embargo, mi último intento tuvo éxito... he sustituido $(\sin3\alpha-\sin2\alpha)$ con el producto, cancelar los factores comunes en ambos lados, entonces el producto sustituido en el lado izquierdo con la suma y, finalmente, obtuvo los siguientes:
$$\cos\frac{9\alpha}2=0\implies \alpha=20^\circ$$
Mucho trabajo para un "buen" ángulo! Teniendo en cuenta la simplicidad del resultado me cabe duda de que tiene que haber una manera más sencilla de resolver este problema sin trignonometry.
Sin embargo, yo no era capaz de encontrarlo y por eso he decidido compartir este problema con usted.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $E \in AB$ tal que $BD = BE$ lo $\triangle DEB$ es isósceles y $AE=DC$ (1).
Deje $DS \parallel AB$ lo $\angle SDB = \angle DBA = \alpha$.
A partir de aquí obtenemos $\triangle DSB$ es isósceles y $DS = SB$ pero $DS \parallel AB$ implica, además, $AD = SB$ lo $DS = AD$ (2)
El uso de (1), (2) obtenemos inmediatamente que $\triangle AED = \triangle DCS$ lo $\angle ADE = 2\alpha$
A partir de aquí obtenemos $\angle DEB = 4\alpha$ (como ángulo exterior para $\triangle AED$) y, finalmente, nos escribe para el triángulo isósceles $\triangle DEB$ la relación $4\alpha + 4\alpha + \alpha = 180^\circ$ y obtenemos $\alpha = 20^\circ$etc.
