Brechas en el calendario de cumpleaños

Question

Yo trabajo en una empresa que publica un calendario con los cumpleaños. Me di cuenta de que era una cadena de cuatro días consecutivos sin cumpleaños. ¿Cuál es la probabilidad de que eso ocurra?

Declaración Del Problema

Dado $n$ de la gente, ¿cuál es la probabilidad de que una observación de un calendario de cumpleaños, sin huecos de longitud $g$ o mayor.

En mi caso $n = 400$ e $g = 4$. Estoy interesada en una solución analítica.

Solución Parcial

Vamos a contar el número de cumpleaños de las asignaciones que tienen lagunas de menos de $g$.

Para ello, vamos a contar las asignaciones que tienen exactamente $d$ distintas cumpleaños ($d = 1, 2, 3, ..., 365$) y la suma de más de $d$.

Para un determinado $d$, se requerirá una cuenta de dos cosas:

1. Número de maneras de partición de la $n$ cumpleaños entre $d$ días.
2. Número de maneras de seleccionar $d$ días del año, sin interrupción de $g$ o mayor.

He encontrado una solución a la 1: $S(n,d) \times d!$ donde $S(n,d)$ es un Número de Stirling De Segundo Tipo. Ver la solución aquí:

Consecutivos cumpleaños probabilidad

Necesito ayuda sobre 2.

Answer 1

Para cada día, $d$, vamos a $E_d$ ser el evento de que no es un cumpleaños en el día de la $d$, pero allí no son ningún cumpleaños en días $d+1,d+2,\dots,d+g$. Una diferencia de longitud de $g$ se produce si y sólo si $E_d$ se produce por alguna $d$. Es decir, $$ P(\text {, sin huecos de longitud $g$})=P(E_1^c\cap E_2^c\cap \dots\cap E_{365}^c) $$ Para calcular esto, utilizamos el principio de la inclusión, de exclusión: $$ P(\text {, sin huecos de longitud $g$})=\sum_S(-1)^{|C|}P(E_{d(1)}\cap E_{d(2)}\cap \dots \cap E_{d(k)}) $$ donde $S=\{d(1),d(2),\dots,d(k)\}$ rangos de todas las $2^{365}$ subconjuntos de días.

Debemos averiguar las probabilidades de las intersecciones de la $E_{d(1)}\cap E_{d(2)}\cap \cdots \cap E_{d(k)}$. Si alguno de los intervalos de $[d(i),d(i)+g]$ e $[d(j),d(j)+g]$ se superponen, entonces, esta probabilidad de la intersección es igual a cero; el $E_d$ fueron cuidadosamente definido por lo que esta sería la verdadera. De lo contrario, utilizamos el principio de la inclusión, de exclusión, en este pequeño problema para calcular $$ p_k:= P(E_{d(1)}\cap \cdots\cap E_{d(k)}) = \sum_{j=0}^k(-1)^j\binom{k}j\left(1-\frac{kg+j}{365}\right)^n $$ Finalmente, se debe contar para cada una de las $k$ el número de formas de elegir los $\{n(1),\dots,n(k)\}\subseteq \{1,2,\dots,365\}$ para los intervalos de $[n(i),n(i)+g]$ son parejas que no se superponen. Reclamo este número es $$ n_k=\binom{365-gk}{k}+g\binom{365-gk-1}{k-1} $$ Yo se lo dejo a usted para comprobar que esto es correcto. Como sugerencia, el primer sumando los recuentos de opciones donde ninguno de los huecos de la cruz entre dos diferentes años, y el segundo cuenta que hacer.

Finalmente conseguimos que $$ P(\text {, sin huecos de longitud $g$})=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{365}{g+1}\right\rfloor }(-1)^{k}n_kp_k $$

Answer 2

Estoy pensando desde otro enfoque.

Para cualquier día específico (1.1 por ejemplo), la probabilidad de que ninguno de los más de 400 personas han que el día de cumpleaños es $p_1 = (364/365)^{400}$ (suponiendo que cada día tiene la misma probabilidad y no es año bisiesto...)

Para una determinada longitud de $g$ o consecutivos gap (1.1 ~ 1.4 por ejemplo). Sería $p_g = ((365-g)/365)^{400}$. (Sé que no funciona para el pequeño número de personas, dicen que 2 personas y tener una diferencia de 200, pero parece ser por lo menos aproximadamente correcta cuando $n$ es grande)

Cómo muchos de esos huecos que existen? 365.

En resumen, mi respuesta es $\approx 1 - 365 * ((365-g)/365)^n$

Actualización 1

para la probabilidad de tener un espacio de $g$

$$ P(g) = 365 * ((365-g)/365)^n - \sum_{i=1}^{g-1}P(g+i) $$ Es la probabilidad condicional, pero estamos sumando a ellos así que lo que debemos hacer es restar la intersección. Pero este complicar el problema muy rápidamente como usted puede ver, por $g>1$ este recursiva de expansión eventualmente llegar a una brecha de más de 180 días, en cuyo caso nuestra fórmula no se sostiene ni siquiera aproximadamente.