Convergencia en $C([0,T_0],L^2)$ y la acotación uniforme en $C([0,T_0],H^2)$ da la convergencia en $C([0,T_0],H^1)$ .

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto compacto de $\mathbb{R}$ y $s\geq 1$ . Sea $$ v_n\in C([0,T_0];H^{s+1}(\Omega)). $$ También $\sup_{t\in[0,T_0]} ||v_n||_{H^{s+1}(\Omega)}\leq M$ , $M$ es una constante.

También se nos da que $$ v_n\longrightarrow v \quad\text{ in } \quad C([0,T_0];L^2(\Omega)). $$ ¿Cómo puedo demostrar que $$ v_n\longrightarrow v\quad\text{ in } \quad C([0,T_0];H^s(\Omega))? $$

Nota : Este problema es una parte de un documento que estoy leyendo. Como argumento para este problema, los autores escriben "interpolando la convergencia dada con las estimaciones del límite uniforme". No sé qué quieren decir con esto.

Answer 1

No estoy seguro de cómo aplicar Aubin-Lions aquí, como sugiere BibgearZzz. Sin embargo, creo que lo que los autores quieren decir con "interpolar la convergencia dada con las estimaciones del límite uniforme" es lo siguiente.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $(v_n(t))_{n\in\mathbb{N}}$ tiene una subsecuencia que converge a $v(t)$ débilmente en $H^{s+1}(\Omega)$ . En particular, $v(t)\in H^{s+1}(\Omega)$ y $\|v(t)\|_{H^{s+1}}\leq M$ . Entonces puedes usar eso para cada $\epsilon>0$ existe $C>0$ tal que $$ \|f\|_{H^{s}}\leq \epsilon\|f\|_{H^{s+1}}+C\|f\|_{L^2} $$ para todos $f\in H^{s+1}$ (No conozco el nombre de esta desigualdad, pero su demostración se reduce a integración parcial + desigualdad de Young - es el Teorema 7.28 de Gilbarg-Trudinger).

Aplicado al caso que nos ocupa, se obtiene $$ \|v_n(t)-v(t)\|_{H^s}\leq \epsilon\|v_n(t)-v(t)\|_{H^{s+1}}+C\|v_n(t)-v(t)\|_{L^2}\leq 2\epsilon M+C\|v_n-v\|_{C([0,T_0];L^2)}. $$ Dejar $n\to\infty$ y luego $\epsilon\searrow 0$ produce la conclusión deseada.

Answer 2

Todavía no tengo tiempo para mirar en detalle, pero creo que probablemente necesitas Lema de Aubin-Lions o algo muy parecido. El límite de $\partial_t v_n$ es crucial para que el método funcione.