Matrices con todas las entradas que no sean cero.

Question

Estoy leyendo un papel y utiliza uno de estos hechos, me gustaría saber si tiene una simple prueba:

Deje $F$ ser un infinito campo y $n\ge2$ e integer. Para cualquier no-escalar de matrices $A_1,A_2,...,A_k$ en $M_{n}(F)$, existen algunos invertible la matriz de $Q \in M_{n}(F)$ de tal manera que cada matriz $QA_1Q^{-1}, QA_2Q^{-1},..., QA_{k}Q^{-1}$ tienen todos los no-cero entradas.

Sólo que no sé por dónde empezar, en primer lugar, podría haber utilizado diagonalizability pero no todos los no-escalar de matrices son diagonalizable. Tal vez demasiado simple, por favor ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para cada una de las $(i,j,\ell)$, tenga en cuenta que el $(i,j)$ entrada de $QA_\ell Q^{-1}\cdot \det(Q)$ es de algún polinomio $p_{ij\ell}$ en las entradas de $Q$ (se multiplica por $\det(Q)$ desde las entradas de $Q^{-1}$ son funciones racionales en las entradas de $Q$ con denominador $\det(Q)$). Ninguno de estos polinomios son idénticamente cero, ya que cada una de las $A_{\ell}$ no es escalar y por lo $Q$ puede ser elegido para hacer cualquier individuo de una de sus entradas diferentes de cero. En más detalle, el hecho de que $A_{\ell}$ no es escalar implica que existe un vector $v\in F^n$ tal que $A_{\ell}v$ es linealmente independientes de a$v$. Así, podemos elegir una base con $v$ e $A_{\ell}v$ como $i$th y $j$th vectores de la base, y en base a esto la $(i,j)$ entrada de $A_{\ell}$ será distinto de cero.

El resultado se sigue del siguiente bien conocido teorema, aplicado al polinomio $p$ en las entradas de $Q$ que es el producto de todos los $p_{ij\ell}$ e $\det(Q)$.

Teorema: Vamos a $F$ ser un infinito campo y deje $p\in F[x_1,\dots,x_m]$ ser distinto de cero. Entonces no existir $a_1,\dots,a_m\in F$ tal que $p(a_1,\dots,a_m)\neq 0$.

Prueba: utilizamos la inducción en $m$; en el caso base $m=0$ es trivial. Ahora supongamos $m>0$ y el resultado es conocido por $m-1$. Creo que de $p$ como un polinomio en las variables de $x_1,\dots,x_{m-1}$ con coeficientes en $F[x_m]$. Al menos uno de sus coeficientes es distinto de cero, y que el coeficiente tiene sólo un número finito de raíces. Desde $F$ es infinito, hay algunos $a_m\in F$ que no es una raíz de que el coeficiente de y, entonces, el polinomio $p(x_1,\dots,x_{m-1},a_m)\in F[x_1,\dots,x_{m-1}]$ es distinto de cero. A continuación, podemos encontrar el requerido $a_1,\dots,a_{m-1}$ por la hipótesis de inducción.